Cómo demostrar este $\int_{0}^{\infty}\sin{x}\sin{\sqrt{x}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\sin{\left(\dfrac{3\pi-1}{4}\right)}$

Question

demostrar que %#% $ #%

Tengo algunas pregunta, utilice el http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dsinxsin%28sqrt%28x%29%29dx

¿encontrar esta integral no es converger, me equivoco? Gracias a todos

Answer 1

En primer lugar hacer la sustitución de $x=u^2$ para obtener:

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }\!\sin \left( x \right) \sin \left( \sqrt {x} \right) {dx}=\int _{0}^{\infty }\!2\,\sin \left( {u}^{2} \right) \pecado \left( u \right) u{du}$,

$\displaystyle=-\int _{0}^{\infty }\!u\cos \left( u \a la izquierda( u+1 \right) \right) {du}+ \int _{0}^{\infty }\!u\cos \left( u \a la izquierda( u-1 \right) \right) {du}$,

y el cambio de la variable de nuevo en la segunda integral en el R. H. S tal que $u\rightarrow u+1$ esto se convierte en:

$=\displaystyle\int _{0}^{\infty }\!-u\cos \left( u \a la izquierda( u+1 \right) \right) {du}+ \int _{-1}^{\infty }\!\a la izquierda(u+1\right)\cos \left( u \a la izquierda( u+1 \right) \right) {du} $,

$\displaystyle=\int _{0}^{\infty }\!\cos \left( u \a la izquierda( u+1 \right) \right) {du}+ \int _{-1}^{0}\! \a la izquierda( u+1 \right) \cos \left( u \a la izquierda( u+1 \right) \right) {du} $.

Ahora podemos escribir la $u=v-1/2$ y esto se convierte en:

$\displaystyle\int _{1/2}^{\infty }\!\cos \left( {v}^{2}-1/4 \right) {dv}+\int _{-1/ 2}^{1/2}\! \left( v+1/2 \right) \cos \left( {v}^{2}-1/4 \right) {dv}=$

$\displaystyle \left\{\int _{0}^{\infty }\!\cos \left( {v}^{2}-1/4 \right) {dv}\right\}$

$\displaystyle +\left\{\int _{-1/2} ^{1/2}\!v\cos \left( {v}^{2}-1/4 \right) {dv}+\int _{-1/2}^{0}\!1/2\, \cos \left( {v}^{2}-1/4 \right) {dv}-1/2\,\int _{0}^{1/2}\!\cos \left( {v}^{2}-1/4 \right) {dv}\right\},$

pero la segunda llave es igual a cero por la simetría y así:

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }\!\sin \left( x \right) \sin \left( \sqrt {x} \right) {dx}=\displaystyle \int _{0}^{\infty }\!\cos \left( {v}^{2}-1/4 \right) {dv}$,

$\displaystyle =\int _{0}^{ \infty }\!\cos \left( {v}^{2} \right) {dv}\cos \left( 1/4 \right) + \int _{0}^{\infty }\!\sin \left( {v}^{2} \right) {dv}\sin \left( 1/4 \right) $.

Ahora nos cita el límite de las integrales de Fresnel:

$\displaystyle\int _{0}^{\infty }\!\cos \left( {v}^{2} \right) {dv}=\int _{0}^{ \infty }\!\sin \left( {v}^{2} \right) {dv}=\dfrac{\sqrt{2\pi}}{4}$,

para obtener:

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }\!\sin \left( x \right) \sin \left( \sqrt {x} \right) {dx}=\dfrac{\sqrt{2\pi}}{4}\left(\cos\left(\dfrac{1}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{1}{4}\right)\right)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\sin{\left(\dfrac{3\pi-1}{4}\right)}$.

Answer 2

Cálculo numérico que muestra que la gráfica de

$$ y = \int_{0}^{x} \sin t \sin \sqrt{t} \, dt $$

está dada por

A pesar de que un gráfico no constituyen una prueba, ello sugiere que la $y$ no convergen como $x \to \infty$. De hecho, se puede demostrar que

$$ y(x) = -\cos x \sin \sqrt{x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin \left( \frac{3\pi - 1}{4} \right) + o(1) $$

como $x \to \infty$. Así, en sentido ordinario, la integral

$$ \int_{0}^{\infty} \sin x \sin \sqrt{x} \, dx $$

diverge. Pero si entendemos la integral en Abel suma senas de la siguiente manera

$$ \int_{0}^{\infty} \sin x \sin \sqrt{x} \, dx := \lim_{s \to 0^{+}} \int_{(0, \infty)} \sin x \sin \sqrt{x} \; e^{-sx} \, dx, $$

a continuación, la oscilación parte se desvanece y se obtiene la identidad. De hecho, se converge al límite propuesto por tan débil como en Cesaro suma sentido.

Ahora vamos a mostrar que la integral converge en la suma de sentido. Algunos de cálculo, hemos

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \sin x \sin \sqrt{x} \; e^{-sx} \, dx &= \int_{0}^{\infty} 2x \sin x \sin (x^2) \; e^{-sx^{2}} \, dx \\ &= \int_{0}^{\infty} x \Re \left( e^{-i(x^2-x)} - e^{-i(x^2+x)} \right) e^{-sx^{2}} \, dx \\ &= \Re \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-(s+i)x^2 + ix} \, dx. \end{align*}

Señalando que

$$ z e^{-(s+i)z^2 + iz} = z \exp \left\{ -(s+i) \left( z - \tfrac{i}{2(s+i)} \right)^2 + \tfrac{i}{4(1-is)} \right\} $$

es toda una función con una buena velocidad de fuga en $ \left| \Re z \right| \to \infty$, nos encontramos con que podemos cambiar el contorno de integración de manera que

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \sin x \sin \sqrt{x} \; e^{-sx} \, dx &= \Re \left[ e^{\frac{i}{4(1-is)}} \int_{-\infty}^{\infty} \left(x + \frac{i}{2(s+i)} \right) e^{-(s+i)x^2} \, dx \right] \\ &= \Re \left[ e^{\frac{i}{4(1-is)}} \frac{i}{2(s+i)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(s+i)x^2} \, dx \right] \\ &= \Re \left[ e^{\frac{i}{4(1-is)}} \frac{i}{2(s+i)} \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{s + i}} \right]. \end{align*}

Tomando $s \to 0^{+}$, nos encontramos con que en Abel suma sentido,

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \sin x \sin \sqrt{x} \, dx &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \Re \left( e^{\frac{i-i\pi}{4}} \right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cos \left( \frac{1-\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sin \left( \frac{3\pi - 1}{4} \right) \end{align*}

como se desee.

Answer 3

No, esta integral no es convergente.

Considerar el $I(k):=\int_{0}^{\pi} \sin x\sin \sqrt{2k\pi +x}dx$. $k$ Suficientemente grandes, $\sqrt{2k\pi +x}-\sqrt{2k\pi}, x\in [0,\pi]$ es lo suficientemente pequeño, por lo que

$$\int_{0}^{\pi} \sin x\sin \sqrt{2k\pi +x}dx\sim \int_{0}^{\pi}\sin x \sin \sqrt{2k\pi }dx=2\sin \sqrt{2k\pi }\not\to 0.$$

Answer 4

La integral no puede converger ya que la función $\sin{x}\sin{\sqrt{x}} $ no converge a cero como x tiende a infinito

EDIT: Hay un error, esta prueba si mal. Leer los comentarios