Los operadores en un Producto Tensor Espacio

Question

Supongamos $V$ $W$ son espacios vectoriales sobre el mismo campo. Es $\text{End}(V \otimes W)$ el mismo que $\text{End}(V) \otimes \text{End}(W)$? Hay nombres especiales para estos espacios?

Answer 1

Ingenuo respuesta: en dimensión finita, el espacio vectorial $\rm{End}(V)\otimes \rm{End}(W)$ tiene dimensión $(\dim V)^2\cdot(\dim W)^2$, mientras que $\rm{End}(V\otimes W)$ tiene dimensión $(\dim V\cdot\dim W)^2$. Por lo que son isomorfos.

La verdadera pregunta es: ¿existe un isomorfismo canónico? En el finito-dimensional caso, sí. En el infinito-dimensional caso, sólo obtenemos un canónica de la inyección de $\rm{End}(V)\otimes \rm{End}(W)$ a $\rm{End}(V\otimes W)$. Ese es el mapa construido en la segunda respuesta. Como ha señalado Martin Brandeburgo, todavía es inyectiva en dimensión infinita, pero no llega a ser surjective. Así que a partir de ahora, voy a suponer que $V$ $W$ son finito-dimensional.

Con duales: cada paso a continuación canónica de isomorphisms

$$ \rm{End}(V)\otimes \rm{End}(W)\simeq (V\otimes V^*)\otimes (W\otimes W^*)\simeq (V\otimes W)\otimes (V^*\otimes W^*) $$$$ \simeq (V\otimes W)\otimes (V\otimes W)^*\simeq \rm{End}(V\otimes W).$$

Vamos a comprobar estos pasos ahora. En primer lugar, vamos a mostrar que el $\rm{End}(V)$ es canónicamente isomorfo a $V\otimes V^*$ donde $V^*$ denota el doble de $V$. De hecho, por cada $v\in V$$v^*\in V^*$, podemos definir a la $\theta_{v,v^*}$$\rm{End}(V)$$\theta_{v,v^*}(x):=v^*(x)v$. Esto produce un bilineal mapa de $(v,v^*)\longmapsto \theta_{v,v^*}$ $V\times V^*$ que factores a través de $V\otimes V^*$ por el universal de la propiedad del producto tensor. Esto nos da $$\overline{\theta}:V\otimes V^*\longrightarrow \rm{End}(V).$$ Now take $\{v_i\}$ a basis of $V$, and denote $\{v_j^*\}$ the basis of $V^*$ canonically associated with it: that is $v_j^*$ is the linear form which takes $v_j$ to $1$ and other $v_i$'s to $0$. Observe that the $\overline{\theta}(v_i\otimes v_j^*)=\theta_{v_i,v_j^*}=v_j^*(\cdot)v_i$ constitute the canonical basis of $\rm{End}(V)$ associated with $\{v_i\}$. So $\overline{\theta}$ is linear and takes a basis onto a basis: this is an isomorphism from $V\otimes V^*$ onto $\rm{End}(V)$. Since its definition does not depend on the choice of a basis, this is a canonical isomorphism. In particular, people usually invoke it implicitly to denote $v\otimes v^*$ what is actually $v^*(\cdot)v$.

Así que tenemos tres canónica isomorphisms $\rm{End}(V)\simeq V\otimes V^*$, $\rm{End}(W)\simeq W\otimes W^*$, y $\rm{End}(V\otimes W)\simeq (V\otimes W)\otimes (V\otimes W)^*$.

Ahora debemos demostrar que $ V^*\otimes W^*\simeq (V\otimes W)^*$ canónicamente. Para cada $v^*\in V^*$$w^*\in W^*$, la forma bilineal $(v,w)\longmapsto v^*(v)w^*(w)$ factores a través del tensor de producto para darle una forma lineal $\psi_{v^*,w^*}\in (V\otimes W)^*$. Es fácil ver que $(v^*,w^*)\longmapsto \psi_{v^*,w^*}$ es bilineal, como es pointwise bilineal en el sistema generador $v\otimes w$. Esto produce un canónica lineal mapa $$\overline{\psi}:V^*\otimes W^*\longrightarrow (V\otimes W)^*.$$ Solo queda ver que para nuestras primeras opciones de bases, $\{v_i^*\}$ $\{w_j^*\}$ son las correspondientes bases de $V^*$$W^*$, mientras que $\{v_i\otimes w_j\}$ es la correspondiente base de $V\otimes W$, e $\{v_i^*\otimes w_j^*\}$ el de $V^*\otimes W^*$. Esto produce también $\{(v_i\otimes w_j)^*\}$ de los asociados a la base de $(V\otimes W)^*$. Ahora es fácil ver que $\overline{\psi}(v_i^*\otimes w_j^*)=(v_i\otimes w_j)^*$, ya que coinciden en la base de los elementos de $v_k\otimes w_l$. Por lo $\overline{\psi}$ es lineal y se lleva una base sobre una base: que nuestro canónica de isomorfismo entre el$V^*\otimes W^*$$(V\otimes W)^*$.

Finalmente, para todos los espacios vectoriales $X,Y, Z$, tenemos canónica isomorphisms $X\otimes Y\simeq Y\otimes X$$(X\otimes Y)\otimes Z\simeq X\otimes (Y\otimes Z)$. Que es: el producto tensor es conmutativa y asociativa.

Sin duales: Considerar la bilineal mapa $$ \phi:\rm{End}(V)\times \rm{End}(W)\longrightarrow \rm{End}(V\otimes W) $$ definido por $$ \phi(S,T)(u\otimes v):=Ub\otimes Tv. $$ El hecho de que este es de los rendimientos de un bien definido endomorfismo $\phi(S,T)$ sobre el producto tensor de la siguiente manera a partir de la característica universal del producto tensor. De hecho, el mapa de $(u,v)\longmapsto Su\otimes Tv$ es bilineal, por lo que los factores a través del tensor de producto y los rendimientos de $\phi(S,T)$$End(V\otimes W)$.

Desde $(S,T)\longmapsto\phi(S,T)(u\otimes v)$ es bilineal para cada una de las $u\otimes v$ y desde el último lapso $\rm{End}(V)\otimes \rm{End}(W)$, el mapa de $(S,T)\longmapsto \phi(S,T)$ es bilineal. Para que otra aplicación de la característica universal de los rendimientos de un lineal de la factorización de $$ \overline{\phi}:\rm{End}(V)\otimes \rm{End}(W)\longrightarrow \rm{End}(V\otimes W). $$ Este acabados de la construcción de nuestro canónica de isomorfismo. Queda por comprobar que es de hecho bijective. A ver que, vamos a fijar en dos bases de $\{v_i\}$$V$$\{w_j\}$$W$. A continuación, $\{v_i\otimes w_j\}$ es una base de $V\otimes W$. Ahora denotar $v_i\otimes v_k^*$ el endomorfismo de $V$ que envía a $v_k$$v_i$, y es nula en otros lugares sobre la base. La familia $\{v_i\otimes v_k^* \}$ es una base de $\rm{End} (V)$. Asimismo, $\{w_j\otimes w_l^*\}$ es una base de $\rm{End} (W)$. Por lo tanto, $\{ (v_i\otimes v_k^*)\otimes(w_j\otimes w_l^*)\}$ es una base de $\rm{End} (V)\otimes\rm{End} (W)$. Por otro lado, $\{ (v_i\otimes w_j)\otimes (v_k\otimes w_l)^*\}$ es una base de $ \rm{End}(V\otimes W)$. Ahora $$ \overline{\phi}((v_i\otimes v_k^*)\otimes(w_j\otimes w_l^*))=\phi(v_i\otimes v_k^*,w_j\otimes w_l^*)=(v_i\otimes w_j)\otimes (v_k\otimes w_l)^*. $$ La primera igualdad es, por definición, de $\overline{\phi}$. La segunda es verdadera sobre la base de la $V\otimes W$, de modo que los operadores coinciden. Por lo tanto $\overline{\phi}$ es lineal y se lleva una base sobre una base: que es un isomorfismo.

Answer 2

Julián prueba sólo funciona en el finito-dimensional caso (dual bases, etc.).

De manera más general, para $R$-módulos de $M,N,M',N'$ hay un canónica $R$-lineal mapa de $\hom(M,M') \otimes \hom(N,N') \to \hom(M \otimes N,M' \otimes N')$, que es un isomorfismo al $M$ $N$ son finitely generado proyectiva (ya que tiene de $M=R$ e las $M$s, para satisfacer esta son cerrados bajo finito directa sumas y directa sumandos; ver también aquí). En particular, $\mathrm{End}(M) \otimes \mathrm{End}(N) \to \mathrm{End}(M \otimes N)$ es un isomorfismo.

Si $V,W$ son infinitas dimesional-espacios vectoriales, entonces la canónica homomorphism $\mathrm{End}(V) \otimes \mathrm{End}(W) \to \mathrm{End}(V \otimes W)$ todavía es inyectiva, pero no surjective. Ver mi respuesta aquí.