Negación de un enunciado matemático

Question

Tenga en cuenta esta declaración $ x \ge 0$ . Según mi profesor, al negar esta afirmación, se convertirá en $ x < 0$ . ¿Por qué es así, por qué el $\ge$ se transforman en $<$ y no en $\le$ ?

Answer 1

No hay "morphing", y no se trata de un juego jugado arbitrariamente con garabatos en el papel. Los símbolos media cosas, y puedes razonar sus comportamientos si entiendes los significados. $x\ge 0$ significa que $x$ es igual o mayor que cero. Negar la declaración significa construir una declaración cuya significa es " $x$ es no igual o mayor que cero".

¿Cuál de $x<0$ y $x\le 0$ significa " $x$ no es igual o mayor que cero"? No puede ser $x\le 0$ porque eso significa que $x$ es menor o igual a cero, y estamos tratando de decir que es no igual a cero.

$x<0$ es correcto, porque si $x$ no es mayor o igual que cero, entonces debe ser menor que cero, y eso es exactamente lo que $x<0$ significa.

Answer 2

Lógicamente, hay no hay "morphing" aquí; su profesor simplemente está repitiendo lo mismo que quiso decir $\,(x \ngeq 0)\,$ pero dicho de otra manera $\,(x \lt 0)\,$ :

NO $\geq$ significa:

" no es (mayor que O igual a)", $\iff$ ("NO es mayor que" Y "NO es igual a")*...

...lo que nos deja con ("es menos que")

que es "NO $\geq$ " debe significar "es menor que"

Formalmente, se trata de una aplicación de (*) la Ley de DeMorgan (recordemos: $\lnot(p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q$ ), y de la Ley de la Tricotomía: entre dos números reales cualesquiera $a, b$ , se cumple una y sólo una de las siguientes relaciones :

• $a \lt b $
• $a = b$
• $a \gt b$

La negación de $\,x\geq0\,$ ( $x\ngeq0$ ) descarta $x = 0$ y descarta $x \gt o$ dejándonos sólo con $x < 0$

Answer 3

Prueba con conjuntos si no lo ves con desigualdades directamente.

La declaración $x\geq 0$ equivale, por definición de intervalos, a decir que $x$ pertenece a $[0,+\infty)$ donde $0$ está incluido.

Por lo tanto, la negación es: $x$ pertenece al complemento de $[0,+\infty)$ , a saber $(-\infty,0)$ , donde $0$ está ahora excluida.

La última condición es, por definición, equivalente a $x<0$ .

Answer 4

Diciendo que $x \geq 0$ es lo mismo que decir que $x$ es un número que es

• mayor que $0$ o
• igual a cero.

Si quieres negar eso, tienes que $x$ es no sea un número mayor o igual a cero. ¿Y cuáles son los números que son

• no mayor que $0$ y
• no es igual a $0$ ?

Esos son exactamente los números negativos, así que $x< 0$ .

Answer 5

La negación de $x \ge 0$ es $\neg x \ge 0$ .

$\neg x \ge 0$ equivale a $x < 0$ .

Es fácil ver esto si se considera el conjunto de valores de $x$ que hacen que la fórmula se cumpla:

• $x \ge 0$ se mantiene para x en {0,1,2,3,4,5,...}
• $\neg x \ge 0$ se mantiene para x en {...,-4,-3,-2,-1} (esto es todo lo que no está en el conjunto anterior)
• $x < 0$ se mantiene para x en {...,-4,-3,-2,-1}