En general, vamos a $V$ ser real o complejo vector paquete de dimensión $n$. ¿Qué podemos decir acerca de $V$ si se admite $k$ independiente nonvanishing global de las secciones? Esto es equivalente a admitir una división de $V \cong W \oplus \mathbb{R}^k$ resp. $V \cong W \oplus \mathbb{C}^k$, y lo que implica algunas condiciones sobre la característica de las clases. Si $V$ es real, entonces
$$w(V) = w(W)$$
donde $W$ tiene dimensión $n-k$, y por lo tanto el $k$ superior Stiefel-Whitney clases de $w_n(V), \dots w_{n-k+1}(V)$ se desvanecen. Del mismo modo, si $V$ es complejo, entonces
$$c(V) = c(W)$$
y por lo tanto el $k$ la parte superior de las clases de Chern $c_n(V), \dots c_{n-k+1}(V)$ se desvanecen. De hecho, es posible definir el Stiefel-Whitney y las clases de Chern de esta manera, en términos de obstáculos para la admisión de nonvanishing global de las secciones. Si $V$ es una orientada al real vector paquete, incluso cuando $k = 1$ sigue inmediatamente que la clase de Euler se desvanece; por la tangente haces de esto es el de Poincaré–Hopf teorema.
Ahora podemos preguntar, ¿qué ocurre si algún paquete construido a partir de $V$, que en su caso es $\Lambda^k(V^{\ast})$, admite un cierto número de nonvanishing global de las secciones. La respuesta es la misma que la anterior: algún número de la característica principal de las clases de $\Lambda^k(V^{\ast})$ se desvanece. Esto indirectamente implica algo acerca de la característica de las clases de $V$, que se puede expresar la característica clases de $\Lambda^k(V^{\ast})$ en términos de. Voy a explicar cómo hacer esto en general, utilizando el principio de separación de aquí. Más específicamente, podemos decir lo siguiente.
En primer lugar, tenga en cuenta que si $V$ es real, entonces la $V^{\ast} \cong V$, y, en particular, los dos tienen la misma característica de las clases. Si $V$ es complejo,$V^{\ast} \cong \overline{V}$, el conjugado de paquete, que satisface $c_k(V^{\ast}) = (-1)^k c_k(V)$. A partir de ahora voy a hablar sobre el exterior de los poderes de $V$ y no de $V^{\ast}$.
Ahora echemos un vistazo a la parte superior exterior de poderes. Si $V$ es real, entonces
$$w_1(\Lambda^n(V)) = w_1(V)$$
por lo $\Lambda^n(V)$ admite un nonvanishing sección global iff $w_1(V)$ se desvanece iff $V$ es orientable iff su estructura de grupo se reduce de $O(n)$$SO(n)$. Del mismo modo, si $V$ es complejo, entonces
$$c_1(\Lambda^n(V)) = c_1(V)$$
por lo $\Lambda^n(V)$ admite un nonvanishing sección global iff $c_1(V)$ se desvanece iff $V$ es "complejo orientable" iff su estructura de grupo se reduce de $U(n)$$SU(n)$.
Más interesante aún, supongamos $n = 3$ y veamos $\Lambda^2(V)$. A través del principio de separación vamos a escribir $V \cong L_1 \oplus L_2 \oplus L_3$, por lo que el Stiefel-Whitney resp. Chern clases de la primaria simétrica polinomios en la primera Stiefel-Whitney resp. Clases de Chern de la $L_i$; por tanto los reales y los complejos casos de llamar a estos $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Entonces
$$\Lambda^2(V) \cong L_1 L_2 \oplus L_2 L_3 \oplus L_3 L_1$$
donde para ahorrar espacio he omitido el producto tensor símbolo. Esto nos dice que el Stiefel-Whitney resp. Clases de Chern de $\Lambda^2(V)$ son de la escuela primaria simétrica polinomios en $\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_3 + \alpha_1$. Expresando este último en términos de la primera es un ejercicio en el simétrica de la función de la teoría. Al $V$ es real esto le da, si no he hecho un error de cálculo,
$$w_1(\Lambda^2(V)) = 2 w_1(V) = 0$$
$$w_2(\Lambda^2(V)) = w_1(V)^2 + w_2(V)$$
$$w_3(\Lambda^2(V)) = w_1(V) w_2(V) - w_3(V)$$
y del mismo modo al $V$ es complejo esto le da
$$c_1(\Lambda^2(V)) = 2 c_1(V)$$
$$c_2(\Lambda^2(V)) = c_1(V)^2 + c_2(V)$$
$$c_3(\Lambda^2(V)) = c_1(V) c_2(V) - c_3(V).$$
De ahí, por ejemplo, si $V$ es real y $\Lambda^2(V)$ admite un nonvanishing sección global, a continuación,$w_3(V) = w_1(V) w_2(V)$.
Por supuesto, estas características de la clase de argumentos no son la respuesta completa: por ejemplo, dicen muy poco sobre las esferas.
