Es bien sabido que el $U^*\otimes V\cong L(U,V)$ finitas espacios dimensionales. Sin embargo, por qué la gente dice que $U^*\otimes V$ no es isomorfo a $L(U,V)$ de infinitas dimensiones de los espacios y de los muchos libros que no dicen nada relacionado con esto?
Respuesta
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Supongamos que tenemos más de un infinito campo de $\Bbbk$, y vamos a $\dim(U) = \kappa$, $\dim(V) = \lambda$.
- Esta gran respuesta de Arturo Magidin muestra que $|U^*| = |\Bbbk|^\kappa$. Básicamente $U^*$ es en bijection con mapas a partir de una base de $U$$\Bbbk$.
- Cuando los espacios son infinitas, la cardinalidad del producto tensor es el producto de las cardinalidades.
- Hay un surjection $\bigsqcup_{n \geq 0} (X \times Y)^n$ $X \otimes Y$dado por las combinaciones lineales.
- $|X \otimes Y|$ es, obviamente, al menos $|X| |Y|$: hay una inyección que se administra por $x \otimes y$.
- Por lo tanto, $|U^* \otimes V| = |U^*| |V| = |\Bbbk|^\kappa \lambda$
- Por otro lado, $L(U,V)$ es en bijection con mapas a partir de una base de $U$$V$. Por lo tanto,$|L(U,V)| = |V|^\kappa = |\Bbbk|^\kappa \lambda^\kappa$.
Así que si $|\Bbbk|^\kappa \lambda < |\Bbbk|^\kappa \lambda^\kappa$ (igualdad puede suceder), entonces los dos espacios no tienen la misma dimensión. Por lo que no pueden ser isomorfos. Por ejemplo, supongamos que la hipótesis continua y el axioma de elección (lo siento conjunto de los teóricos) y tome $|\Bbbk| = \aleph_0$ (por ejemplo,$\Bbbk = \mathbb{Q}$), $\lambda = \aleph_\omega$ y $\kappa = \operatorname{cof}(\lambda) = \aleph_0$. Entonces por König del teorema $\lambda^{\operatorname{cof}(\lambda)} > \lambda$, así: $$|\Bbbk|^\kappa \lambda = \aleph_0^{\aleph_0} \aleph_\omega = 2^{\aleph_0} \aleph_\omega \overset{\mathsf{CH}}{=} \aleph_1 \aleph_\omega = \aleph_\omega = \lambda < \lambda^\kappa = |\Bbbk|^\kappa \lambda^\kappa.$$
En general, los espacios pueden ser isomorfos. Por ejemplo, es de ambos espacios han countably dimensión infinita sobre$\mathbb{R}$, $U^* \otimes V$ $L(U,V)$ tiene dimensiones de la $2^{\aleph_0}$, por lo que son isomorfos, a pesar de que uno se vería en apuros para describir un explícito de isomorfismo.
- Un ejemplo trivial: si $V = \Bbbk$, entonces usted se está preguntando si $U^*$ es isomorfo a $L(U, \Bbbk)$...
- Si $U$ es finito dimensional, entonces la costumbre mapa es un isomorfismo (ver más abajo).
Pero si ambos $U$, $V$ son infinitas dimensiones, que no son naturalmente isomorfos, al menos a través de la única evidencia natural de mapa.
En el finito dimensionales caso, el isomorfismo natural se parece a esto: $\varphi \otimes v \mapsto (u \mapsto \varphi(u)v)$. Cuando los espacios de infinitas dimensiones, este no es un isomorfismo! De hecho, cualquier elemento de la $L(U,V)$ en la imagen ha finito dimensionales gama. Pero hay elementos en $L(U,V)$ con infinitas dimensiones de la gama, obviamente.
