Confundido acerca de la $\pm$ signo?

Question

Tengo varias preguntas acerca de la $\pm$ signo, ya que parece confundir a mí en general...

Pregunta 1:

Decir que he a$15=\pm(a+x)$, ¿puedo usar la propiedad distributiva para que se convierta $15=\pm a \pm x$? O ¿eso significa que pasó de 2 a 4 soluciones?

Me siento muy confundido cuando me encuentro con este signo en las ecuaciones necesito para simplificar. Cada vez que tengo que lidiar con este tipo de situaciones que tienden a convertirlo en dos ecuaciones, $15= a+x$$15=-a-x$. Pero si yo fuera a hacer eso con más ecuaciones que todavía necesita ser simplificada significa que voy a perder un montón de tiempo ya que estoy haciendo el doble de trabajo...

Pregunta 2:

¿El $\pm$ señal que sólo tienen sentido en ecuaciones, o pueden ser utilizados en expresiones normales (por ejemplo,$\pm y + 3$). Pero entonces me pregunto, ¿en qué escenario podría usted hacer algo como esto?

Pregunta 3:

$\sqrt {x^2}+37=y+40$

Decir que me iban a simplificar $\sqrt{x^2}$ en la ecuación, no sé donde debo poner el $\pm$ signo. ¿En dónde me pongo? Los términos adicionales 37 y 40 confundirme...

Answer 1

Si el $\pm$ signo es confuso, deshacerse de él. Si usted tiene $$15 = \pm(a+x)$$ you can turn that into two equations: $$15 = a+x\\15 = -(a+x)$$ and then deal with the two equations separately, one at a time. That is exactly the meaning of the $\pm signo$.

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La razón de que usted está confundido es porque la notación es confuso! La expresión $\pm a \pm b$ es en realidad ambigua: en algunos contextos significa cuatro valores, y en otros contextos significa dos. A veces existe la convención de que los dos $\pm$ signos debe representar el mismo signo; a veces no la hay.

En el tercer ejemplo, me gustaría sugerir que usted escribe $z = \sqrt{x^2}$ y gire a la ecuación en $z+37 = y + 40$. A continuación, resolver, como de costumbre. Al llegar a la final, ha $z$$y$. A continuación, se puede concluir que el $x$ podría ser $z$ o $-z$.

Answer 2

1: Sí, usted puede distribuir. Bueno, funciona para todos los casos. $$\pm(x + y) = \pm x \pm y \quad \forall x,y \in \mathbb R$$

Las propiedades básicas son: $$(-)\times (\pm) = (\mp)\\ (\pm)\times(\pm) = (+)\\ (\mp)\times(\mp) = (+)\\ (\pm)\times(\mp) = (-)$$

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2: Como usted dijo, $\pm$ es utilizado para representar a $+$ $-$ en distintas ecuaciones. Es un poco más profundo que eso. Incluso como una declaración

$$x \pm y \implies x+ y \text{ and } x - y$$

No hay una utilidad real en lugar de perder el tiempo en escribir y hablar. Por ejemplo,

Yo te pregunto, " ¿Qué es $\sin(A\pm B)$ ?"
Usted me dirá, " $\sin A \cos B \pm \cos A \sin B$"

Recientemente he estado usando para ayudar a mi hermano pequeño la práctica de la suma y la resta simultáneamente,

$$3 \pm 2 \5, 1\\ 32 \pm 23 \a 55, 9\\ 1729 \pm 999 \2728 , 1630\\ 854297992 \pm 299792458 \a 1154090450, 554505534\\ \dots$$ Él ha sido realmente bueno en ello.

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3: $\sqrt{x^2} = |x|$

Tomar los puntos $\pm x$ en un número de línea (con suerte, usted entiende que el uso ahora) La distancia a los puntos de origen se puede encontrar la fórmula de la distancia: $$\sqrt{(\pm x - 0)^2} = \sqrt{x^2}$$

Ahora, $\sqrt{x^2} = x ,\quad\forall x\in [0, \infty)$
y $\sqrt{x^2} = -x ,\quad\forall x \in (-\infty, 0)$

Así, siempre salidas de la magnitud de $x$

Vamos a intentar jugar con la ecuación que has dado usando nuestro conocimiento de este: $$\sqrt {x^2}+37= y + 40 \\ \implica que |x| = y + 3 \\ \implica x = y + 3), el espacio \\forall y\en [-3, \infty)\quad\text{ y }\quad x = - (y+3), espacio \\forall y\(- \infty, - 3)$$

Answer 3

$\bf{Question\ 1:}$ El signo más o el signo menos no distribuye así. Para ver esto, considere la ecuación de $x^{2}-4=0$. Debería ser obvio que las raíces de esta ecuación son $\pm 2$. Podemos reescribir que como $\pm (10-8)$ desde $10-8=2$. Sin embargo, la Distribución de la $\pm$ señal a través de $(10-8)$ implicaría que $18$ $-18$ también están las raíces de $x^{2}-4=0$.

$\bf{Question\ 2:}$ Puede ser utilizado como se ha especificado, aunque no es muy común ver que.

$\bf{Question\ 3:}$ Cantidad $\sqrt{x^{2}}$ es usado para denotar la magnitud de $x$,$|x|$.