Si $\displaystyle \lim _{x\to +\infty}y(x)\in \mathbb R$, $\lim _{x\to +\infty}y'(x)=0$

Question

No a la tarea. Necesito esto (o algo similar) para resolver 4. en esta pregunta.

Deje $y:(a ,+\infty)\to \mathbb R$$C^1$.

Demostrar que $$\lim_{x\to +\infty}y(x)=\eta\text{ for some }\eta\in \mathbb R\implies\text{the following limit exists and } \lim_{x\to +\infty}y'(x)=0$$

Intuitivamente esto es cierto porque las $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}y(x)=\eta$ significa que $y$ casi deja de aumentar o disminuir, por lo $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}y'(x)=0$. Pero, ¿cómo demostrarlo?

He intentado $$\lim_{x\to +\infty}y'(x)=0=\lim_{x\to +\infty} \lim_{h\to 0}\dfrac{y(x+h)-y(x)}h= \lim_{h\to 0}\lim_{x\to +\infty}\dfrac{y(x+h)-y(x)}h= \lim_{h\to 0}\dfrac{a-a}h=0,$$

pero, ¿por qué me puede cambiar el orden de los límites? Si ni siquiera puedo hacer eso, ¿cómo puedo demostrarlo?

Después de leer los hilos Tyler, yo ahora sólo tiene que demostrar que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}y'(x)$ existe? Por favor, considere la posibilidad de una adecuada adaptación a la liga pregunta.

Answer 1

Esto es falso, sin supuestos adicionales. Si suponemos que $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ existe, entonces un argumento como el de Elias muestra que debe ser cero.

En los comentarios, algunos hilos con diferentes argumentos que prueben la misma también se sugieren. Hmm... Elias eliminado su respuesta, así que me incluir un enfoque agradable (que está en una de las respuestas a la pregunta que este es un duplicado de la): Supongamos $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ existe. A continuación, podemos utilizar la regla de L'Hôpital (formulado como, por ejemplo, en Rudin los Principios de análisis matemático) a la conclusión de que $$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x f(x)}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x(f(x)+f'(x))}{e^x}=\lim_{x\to\infty}{f(x)+f'(x)}, $$ donde la segunda igualdad es por la regla de L'Hôpital, y su aplicación se justifica ya que el último límite existe, por supuesto.

Sin embargo, si la suposición de que $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ existe no es dado, podemos producir contraejemplos.

Para ver esto, imagine $f$ es una función lineal a trozos, que es cero excepto en pequeños barrios de $x=n$ todos los $n$. Para cada $n$, $f(x)\ne0$ para $x\in (n-(1/n^2), n+(1/n^2))$, donde es una línea recta de$(n-1/n^2,0)$$(n,1/n)$, y luego una línea recta de $(n,1/n)$$(n+1/n^2,0)$. Tenga en cuenta que$f(x)\to0$$x\to\infty$, ya que los "picos" tienen alturas de la disminución de a $0$. Sin embargo, las líneas alrededor de cada uno de los enteros son cada vez más graves.

Esta $f$ no es diferenciable en todas partes, pero hay métodos estándar que nos permiten redefinir $f$ cerca de los puntos donde $f'$ no está definido, por lo que la redefinido la función es suave y se $f'$ existe en todas partes, véase, por ejemplo, esta pregunta (que, en principio, la "ronda" de las esquinas). Todavía tenemos $f\to0$, pero ahora $f'$ existe en todas partes, y $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ no existe, ya que para cada entero $n>0$, cerca de $x=n$, $f'$ toma los valores de $n$$-n$.

Para aumentar su visibilidad, permítanme añadir dos comentarios por Daniel Fisher:

Un ejemplo claro de una $C^\infty$ función de $f$ tal que $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe sino $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ no es $$ f(x)=\frac{\sin(x^4)}{1+x^2}. $$ Uno puede llegar a este ejemplo al empezar con algo como $g(t)=t^2\sin(1/t)$ que es diferenciable en a $0$ pero se ha discontinuo derivado en $0$, y modificación de la misma por lo que el comportamiento se produce en $+\infty$ en lugar de $0$ (un pequeño cambio posterior se añadió para asegurar que la función está definida por todas partes, incluso en $0$).

Fisher además agrega: Para los enlaces de la pregunta, se tiene que la derivada es una función de Lipschitz de $y$, por lo que si $\lim_{x\to\infty}y(x)$ existe y está en el dominio de $f$, luego $$\lim_{x\to\infty}y'(x)=\lim_{x\to\infty}f(y(x))=f(\lim_{x\to\infty}y(x))$$ by the continuity of $f$, y usted incluso no necesita de Lipschitz para que.

Answer 2

Aquí es otra manera fácil de probar que $\lim f'(y)=0$ si este límite existe.

Supongamos : $\displaystyle\lim_{y\to +\infty} f'(y)=\lambda\neq 0$.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $\lambda>0$ (se puede reemplazar $f$ $-f$ en el otro caso).

Luego hay un $b>a$ tal que $f'(x)>\dfrac\lambda 2$ todos los $x\geqslant b$.

Esto los lleva a :

$$f(x)=f(0)+\int_0^x f' \geqslant f(0) + \frac\lambda 2 x,\ (\text{if}\ x\geqslant b)$$

Pero $f(0)+\dfrac\lambda 2 x$ tiende a $+\infty$ $x$ tiende a $+\infty$ .

Esto es contradictorio, por lo $\displaystyle\lim_{y\to +\infty} f'(y)=0$