Pegado con la prueba de $\forall A\forall B(\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cup B)\rightarrow A\subseteq B \vee B\subseteq A)$

Question

Me llegó al punto donde supongo que para el caso 1 que $A\subseteq B$ y la conclusión es trivial. Para el caso 2 supongo que $A\not\subseteq B$ e intentar demostrar $B\subseteq A$, pero que me lleva a ninguna parte. Los punteros aquí son la mayoría de la recepción.

Answer 1

Suponga que ni $A \subseteq B$ ni $B \subseteq A$. A continuación, hay elementos $x \in A \setminus B$$y \in B \setminus A$.

Entonces el conjunto $\{x,y\}$$P(A \cup B)$, pero no en $P(A) \cup P(B)$.

Answer 2

He aquí una prueba sin contrapositivo, si lo prefiere.

Supongamos que $P(A) \cup P(B) = P(A \cup B)$. A continuación,$A \cup B \in P(A \cup B) = P(A) \cup P(B)$. Esto significa que $A \cup B$ es un elemento de cualquiera de las $P(A)$ o $P(B)$. Por lo tanto, cualquiera de las $B \subseteq A \cup B \subseteq A$ o $A \subseteq A \cup B \subseteq B$.

Answer 3

Traducir al nivel del elemento utilizando $$V \in P(X) \;\equiv\; V \subseteq X$$ as the definition of $\;P(\cdot)\;$, esto puede ser probado mediante una mayoría simple de cálculo:

\begin{align} & P(A) \cup P(B) \;=\; P(A \cup B) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"set extensionality; in left hand side expand definition of %#%#%"} \\ & \langle \forall V :: V \in P(A) \;\lor\; V \in P(B) \;\;\equiv\;\; V \in P(A \cup B) \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%, three times"} \\ & \langle \forall V :: V \subseteq A \;\lor\; V \subseteq B \;\;\equiv\;\; V \subseteq A \cup B \rangle \\ \Rightarrow & \;\;\;\;\;\text{"choose %#%#%} \\ & \;\;\;\;\;\phantom{"}\text{-- choosing a specific %#%#% seems the best direction, given that we} \\ & \;\;\;\;\;\phantom{"}\text{are asked to prove a forward implication; and the other obvious} \\ & \;\;\;\;\;\phantom{"}\text{choices, %#%#% and %#%#%, lead to set-theoretic tautologies"} \\ & A \cup B \subseteq A \;\lor\; A \cup B \subseteq B \;\;\equiv\;\; A \cup B \subseteq A \cup B \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"set theory: simplify using %#%#%, twice, and %#%#%"} \\ & B \subseteq A \;\lor\; A \subseteq B \\ \end{align}