Prueba de Hartogs del teorema de

Question

Estaría muy agradecido si alguien me pudiera ayudar a entender la prueba de Hartogs del teorema que aparecen en Huybrechts' "Geometría Compleja." La instrucción es:

Deje $\mathbb{P}^n \subset \mathbb{C}^n$ ser la unidad polydisc. Deje $\mathbb{P}_c:= \{ \boldsymbol{z} : 0\leq |z_i|<c\}$ algunos $0<c<1$. Entonces si $f: \mathbb{P}^n -\bar{\mathbb{P}}_c \rightarrow \mathbb{C}$ es holomorphic, a continuación, $f$ se extiende a un holomorphic de la función en $\mathbb{P}$.

La prueba es como sigue: fijo $\boldsymbol{w} \in \mathbb{P}^{n-1}$, la función de $f_w: z \mapsto f(z,\boldsymbol{w})$ define un holomorphic función en el anular de la región de $A= \{z: c<|z|<1 \}$ en el complejo de la llanura. Deje $f_w= \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} a_k(\boldsymbol{w})z^k$ ser el Laurent expansión de $f_w$ en esta región. A continuación, el $a_k$ definir holomorphic funciones en $\mathbb{P}^{n-1}$ (por un lema anterior) y si $k<0$ $a_k$ se desvanece cuando algunos $w_i>c$ (desde $f_w$ a continuación, se extiende a todo el disco) y así se desvanece en todos los de $\mathbb{P}^{n-1}$. Por lo tanto, podemos escribir la $f|_{A \times \mathbb{P}^{n-1}}= \Sigma_{k=0}^{\infty} a_k(\boldsymbol{w})z^k$.

Entiendo todo lo que hasta este punto. Lo que no puedo entender es por qué esta suma de holomorphic funciones define un holomorphic función sobre todo de la unidad de polydisc. Presumiblemente se supone que convergen uniformemente en compactos de subconjuntos o algo? Huybrechts dice algo así como "la $a_k$ alcanzar sus suprema en la frontera y así convergencia uniforme es implícita por la convergencia uniforme en el anular de la región" y no tengo idea de qué límite o anular la región que está hablando. A priori, no sé por qué yo debería saber nada acerca de la uniformidad de la convergencia de la suma fuera de una sola copia de $A$ es decir, cuando se $\boldsymbol{w}$ es fijo.

Gracias por su tiempo y disculpen si esto es sobre todo una tontería.

Answer 1

Esta no puede ser la respuesta que buscas, pero es lo que haría yo el enfoque de este teorema. Convergencia de los asuntos que dependen de Cauchy teorema de todos modos, así que ¿por qué no usar directamente en una prueba?

Deje $c < r < R < 1$ y definen $f_r: \{z \mid r < |z| < 1\} \times \mathbb{P}^{n-1} \to \mathbb{C}$ por

$$f_r(z, w) = \frac{1}{2 \pi i}\int_{|v|=r} \frac{f(v, w)}{v - z}dv.$$

A continuación, $f_r$ es holomorphic y se desvanece si $|w_k| > c$ para algunos el índice de $k$ desde $v \mapsto f(v, w)$ es entonces holomorphic dentro del contorno de $|v|=r$. Esto implica que $f_r$ es idéntica a cero. En particular, $f$ tiene la siguiente representación en $\{z \mid r < |z| < R\} \times \mathbb{P}^{n-1}$

$$f(z, w) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|v| = R} \frac{f(v, w)}{v - z}dv.$$

Pero el lado derecho se define un holomorphic de la función en $\{z \mid |z| < R\} \times \mathbb{P}^{n-1}$.