Hay ejemplos de la aplicación de L'Hôpitals regla ( correctamente ) que daría la espalda de la misma forma indeterminada? I. e. ejemplos donde el uso de L'Hôpital no reducir la situación o incluso la empeora?
Por el uso correcto que queremos decir cuando las condiciones para aplicar L'Hopitals regla están satisfechos, en otras palabras, no cuando L'Hopitals regla es aplicado de forma incorrecta
Arjang me ha pedido que publique aquí lo que he publicado en respuesta a la pregunta 59328, así que aquí va:
Vamos $$f(x)={x\over\sqrt{x^2+1}}$$ and try to find $\lim_{x\to\infty}f(x)$, using l'Hopital. We get $$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}{1\over{x\over\sqrt{x^2+1}}}=\lim_{x\to\infty}{\sqrt{x^2+1}\over x}$$ Use l'Hopital again, and you get back to $\lim_{x\to\infty}f(x)$.
$$\lim_{x\to\infty}{e^{-x}\over1/x}=\lim_{x\to\infty}{e^{-x}\over1/x^2}=\lim_{x\to\infty}{e^{-x}\over1/2x^3}=\dots$$
Si entiendo correctamente, usted está buscando un caso en el que
$$\frac fg=\frac{f'}{g'}\;,$$
de modo que reemplazando el límite de uno por el límite de los otros rendimientos ninguna mejora. Podemos reescribir esto como
$$\frac{g'}g=\frac{f'}f\;,$$
que puede ser integrado a
$$\log g=\log f+c\;,$$
$$g=\tilde cf\;,$$
por lo que esta condición implica que las dos funciones son en realidad los múltiplos de cada uno de los otros.
He aquí un "naturalmente" ejemplo:
La expansión de Taylor de
$$f(x) = \exp\left( -\frac{1}{x^2}\right)$$ $$f(0) = 0$$
es
$$0 + 0x + 0x^2 + 0x^3 + 0x^4 + ...$$
La forma más sencilla que conozco para la obtención de estos coeficientes es demostrar por inducción que la $n$th derivado de la $f(x)$$x \neq 0$, es una función racional veces $\exp\left( -\frac{1}{x^2}\right)$ (la función racional variará con $n$), un formulario que había probabilidades de adivinar si se trató de computación en los primeros dos o tres derivados. No es muy difícil demostrar la inducción de paso, a saber, que el $(n+1)$st derivada es una función racional veces $\exp\left( -\frac{1}{x^2}\right)$ al $x \neq 0$. Usando este resultado, ahora podemos demostrar (una vez más, por inducción) que cada una de las $n$th derivada evaluada en $x = 0$ existe y es igual a $0$. Esta vez, en la comprobación de que el paso inductivo, que consiste en la evaluación de la $(n+1)$st derivado en $x = 0$, vas a necesitar de L'Hospital de la regla para evaluar el límite de $h \rightarrow 0$ de
$$\frac{f^{(n)}(0 + h) - f^{(n)}(0)}{h},$$
donde usted será suponiendo que $f^{(n)}(0 + h) = f^{(n)}(h) = R(h) \cdot \exp\left( -\frac{1}{h^2}\right)$ para algunos la función racional $R(h)$. Sin embargo, si usted comienza a "L'Hôpital diferenciación" de inmediato (con respecto a $h$), encontrará que las cosas le espiral fuera de control. (Trate de que mediante el uso de $R(h) = \frac{P(h)}{Q(h)}$.) Para solucionar esto, hacer el cambio de variable $u = \frac{1}{h}$ y, a continuación, tomar el límite de $u \rightarrow \infty$ de la $u$-versión, usando la regla de L'Hospital.
Para un ejemplo de orden $n$ el comportamiento cíclico, vamos a $f$ $g$ ser partes real e imaginaria de $\exp(\omega t)$ $\omega$ $n$th raíz de la unidad con $\Re \omega < 0$, y aplicar L'Hôpital a la $t \to +\infty$ caso de
$(e^t + f(t)) / (e^t + g(t))$.
Con $n=3$ ,
$f(t) = \exp(-t/2) \cos {\frac{\sqrt{3}}{2}}t$
$g(t) = \exp(-t/2) \sin {\frac{\sqrt{3}}{2}}t$
Más interesante sería un ejemplo en el que el límite no es evidente antes del uso de la regla de L'Hospital. Aquí el punto fijo $e^x$ predomina y se agrega a estabilizar el orden de $n > 1$ comportamiento oscilatorio, pero este dominio podría haber sido utilizado para ver el límite de inmediato sin necesidad de L'Hôpital. El comportamiento cíclico del modulo de cancelación, donde $D^n (f,g) = (hf,hg)$, no permite más soluciones, pero luego de la cancelación también está disponible para simplificar el límite original (por ejemplo, en el caso de $\sqrt{x^2+1}/x$ se puede dividir tanto por $x$ a cambio de indeterminada 0/0 a 1/1).
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