CW compleja estructura del espacio proyectivo $\mathbb{RP}^n$

Question

Estoy tratando de comprender el CW compleja estructura del espacio proyectivo $\mathbb{RP}^n$, pero algunas cosas no están claras. Entiendo que comenzar por la identificación de $\mathbb{RP}^n$ $S^n/R$ donde $R$ es la equivalencia en relación con la identificación de antipodal puntos sobre la esfera. Esto está muy bien. Pero, a continuación, $S^n/R$ se identifica a $D^n/R$ con R de este momento se limitaron a la frontera $S^{n-1}$$D^n$. Aquí está mi problema: ¿alguien puede proporcionar una explícita mapa de esta identificación? Y en segundo lugar, ¿cómo podemos identificar a este último espacio para la adjoint espacio de $\mathbb{RP}^{n-1}$$D^n$, en otras palabras, ¿cómo es $\mathbb{RP}^{n-1}$ se convierte en una (n-1) esqueleto de la CW-complejo a partir de aquí?

Answer 1

La inclusión natural del hemisferio $D^n \to S^n$ respeta la relación $R$ como se describe. Así, se induce un mapa de $D^n/R \to S^n/R$, que es un homeomorphism. Ahora, considere la posibilidad de la inclusión de la frontera $S^{n-1} \to D^n$, y ver que esto también se respeta la relación $R$, lo que induce una inclusión mapa de $S^{n-1}/R = \mathbb R P^{n-1} \to D^n/R \cong \mathbb RP^n$. Ahora debería ser fácil ver que obtenemos $D^n/R \cong \mathbb RP^n$ $\mathbb R P^{n-1}$ adjuntando $D^n$ a lo largo del cociente mapa de $S^{n-1} \to S^{n-1}/R = \mathbb RP^{n-1}$.

Answer 2

Primero ver el CW-estructura de $S^n$ 2 0-células,2 1-células, ... , 2 n-células y adjuntar mapas son naturales.Luego de ver que $Z/2$ actuar en $S^n$ por antipodal de acción y esto $Z/2$ acción de volteo cada 2 $i$-de las células.Nota: $RP^n = S^n / Z/2$ Esto le da a la CW complejo de la estructura de $RP^n$.