Me piden demostrar que en la homología singular y cohomology $H_0(\mathbb{Q},\mathbb{Z}) \ncong H^0(\mathbb{Q},\mathbb{Z})$, $\mathbb{Q}$ ser dotado de la topología de subespacio de $\mathbb{R}$.
Desde $\mathbb{Q}$ está totalmente desconectado, el cero de homología es sólo la libre $\mathbb{Z}$-módulo sobre los puntos de $\mathbb{Q}$, mientras que uno puede mostrar ya sea directamente o a través de el universal coeficiente teorema que $H^0$ está dada por las funciones de los componentes de la trayectoria, es decir, los puntos de $\mathbb{Q}$,$\mathbb{Z}$. Así que...a mí me parece que me podría dar un isomorfismo de asignación de $\sum n_iq_i \mapsto f, f(q_i)=n_i, q_i \in \mathbb{Q}, n_i \in \mathbb{Z}$, que se extiende a un isomorfismo de los módulos/abelian grupos de linealidad. Lo que me estoy perdiendo aquí?
