si $\int_1^\infty f(x)dx$ existen, $\int_1^\infty f^2(x)dx$ existen?

Question

Me estoy enfrentando algunas dificultades en demostrar/que desmienten esta frase:

Considere la posibilidad de $f: [0, \infty ) \rightarrow \mathbb{R}, f$ es continua.
si $\displaystyle \int_1^\infty f(x)dx$ existen, $\displaystyle \int_1^\infty f^2(x)dx$ existen.

Answer 1

Ejemplo clásico: definir $f$ ser afín a trozos y de hecho de distinto isocele triángulos ("baches"; y $0$ en otros lugares), el $n$-ésimo de ellos, centrado en $x_n=n$, teniendo la base de la longitud de la $2/n^3$ y la altura de la $n$.

Answer 2

Voy a ampliar mi comentario aquí. Una cosa que me gustaría señalar es que Clemente ejemplo es, en un sentido, mejor porque es incondicionalmente integrable mientras mi ejemplo, $f(x) = (\sin x) / \sqrt{1 + x}$ es condicional.

Para mostrar que mi función es condicionalmente integrable, yo uso la definición de $\int_1^\infty f(x) dx = \lim_{y \to \infty} \int_1^y f(x) dx$. De hecho, te voy a mostrar que $\int_0^\infty f(x) dx = \lim_{y \to \infty} \int_0^y f(x) dx$ existe.

En primer lugar, voy a probar que $\lim_{n \to \infty} \int_0^{2n\pi} f(x) dx$ existe. Para cada entero no negativo,$n$, definir $s_n = \int_{2n\pi}^{2(n+1)\pi} f(x) dx$. Podemos obligado cada una de las $s_n$ como sigue. \begin{align} p_n = \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} f(x) dx & = \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin x}{\sqrt{1 + x}} dx \\ & \le \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin x}{\sqrt{1 + 2n\pi}} dx \\ & = \frac{2}{\sqrt{1 + 2n\pi}} \\ m_n = \int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} f(x) dx & = \int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} \frac{\sin x}{\sqrt{1 + x}} dx \\ & \le \int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} \frac{\sin x}{\sqrt{1 + (2n + 2)\pi}} dx \\ & = -\frac{2}{\sqrt{1 + 2(n + 1)\pi}} \end{align} Por lo tanto, \begin{align} s_n = p_n + m_n & \le \frac{2}{\sqrt{1 + 2n\pi}} - \frac{2}{\sqrt{1 + 2(n+1)\pi}}. \end{align} Es fácil ver que $s_n \ge 0$, por lo que la secuencia de $\{S_n\}$ de las sumas parciales $S_n = \sum_{i=0}^n s_i$ es monótona creciente y acotada arriba por $2$ (la suma es telescópica), por lo tanto convergente.

Para$y \in [2n\pi, (2n+1)\pi]$,$S_n \le \int_0^y f(x) dx \le S_n + p_n$. Para$y \in [(2n+1)\pi, 2(n+1)\pi]$,$S_n + p_n \ge \int_0^y f(x) dx \ge S_{n+1}$. Esto es suficiente para concluir que el $\int_0^\infty f(x) dx = \lim_{y \to \infty} \int_0^y f(x) dx = \lim_{n\to\infty} S_n$.