Los residuos de Rankin-Selberg L-función para no trivial nebentypus

Question

Deje $f\in S_k(\Gamma_0(N),\chi)$ ser normalizado holomorphic newform (es decir, el peso $k$, nivel de $N$, nebentypus $\chi$) y escribir su Fourier de expansión como $$ f(z)=\sum_{n\ge 1} \lambda_f(n)n^{(k-1)/2}e^{2\pi i n z}$$ para $\Im z >0$ donde $\lambda_f(1)=1$ y, por Deligne enlazado, $|\lambda_f(n)|\le d(n)$. Aquí $d(n)$ indica el número de divisores positivos de $n$. Definir el Rankin-Selberg convolución $L$-función como $$ L(s,f\times \bar{f}) = \sum_{n=1}^\infty \frac{|\lambda_f(n)|^2}{n^s} $$ para $\Re s >1$. Esta $L$-la función tiene un simple poste de $s=1$.

Preguntas:

(1) ¿Qué es este residuo?

(2) ¿Cómo calcular este residuo?

Answer 1

Como te han dicho, vamos a $f$ peso $k$ forma de nebentypus $\chi$. A continuación, en particular, $f(\gamma z) = (cz + d)^k \chi(d) f(z)$ donde $\gamma = \left(\begin{smallmatrix} a&b\\c&d \end{smallmatrix}\right)$ es una matriz en nuestra congruencia subgrupo du jour.

Observe que $\lvert f(z) \rvert^2 y^k$ es invariante bajo la barra del operador, como $$ \begin{align} \lvert f(\gamma z) \rvert^2 (\gamma y)^k &= f(\gamma z) \overline{f(\gamma z)} \frac{y^k}{\lvert cz + d \rvert^{2k}} \\ &= (cz+d)^k \overline{(cz + d)^k} \chi(d) \overline{\chi(d)} f(z) \overline{f(z)} \frac{y^k}{\lvert cz + d\rvert^{2k}} \\ &= \lvert f(z) \rvert^2 y^k. \end{align}$$

Esto significa que es significativo para tomar el producto interior contra el normal Eisenstein serie $$ E(z,s) = \sum_{\gamma \in \Gamma_\infty \backslash \Gamma_0(N)} \text{Im}(\gamma z)^s.$$

Realizar un desdoblamiento de la integral a lo largo de la crítica de la tira, podemos ver que $$ \langle \lvert f \rvert^2 y^k, E(z,s) \rangle = \frac{\Gamma(s + k - 1)}{(4 \pi)^{s + k - 1}} \sum_n \frac{a(n)^2}{n^{s + k - 1}},$$ donde $a(n) = \lambda(n)n^{(k-1)/2}$ son los coeficientes de Fourier de $f$. Aviso de la suma de la derecha es el Rankin-Selberg $L$-función, y deliberadamente para evitar que indica cualquier normalización en cualquier lugar.

Como entendemos la analítica del comportamiento de la Eisenstein de la serie y el $\Gamma$ función, podemos entender la analítica del comportamiento de la $L$-función. Lo que es más importante, desde el de Eisenstein serie tiene un polo simple en $s = 1$ de los más conocidos de residuos, entendemos que el polo de la $L$-función, y se ha residuo $$ \langle fy^{k/2}, fy^{k/2} \rangle R \frac{(4\pi)^k}{\Gamma(k)},$$ donde $R$ es el residuo de la Eisenstein serie conectado a la congruencia de los subgrupos (y, a menudo, se ve algo como $\frac{3}{\pi}$).

Answer 2

La respuesta es que, con su notación,

$$\operatorname{res}_{s=1} L(s,f\times\overline f) =\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1x\sum_{n\leq x}\left|\lambda_f(n)\right|^2.$$

Este hecho puede encontrarse en un papel por Miqueas Milinovich y Nathan Ng en el arXiv en arXiv:1306.0854 [matemáticas.NT]. (Véase el comentario en la página 4.)

En el caso sencillo en el que $f$ es una normalizado primitivo holomorphic la cúspide de la forma en la plena modular del grupo, a continuación, $f$ es auto dual y $$L(s,f\times\overline f)=L(s,f\times f) = \sum_1^\infty \lambda_f^2(n)n^{-s}.$$ Entonces $$\operatorname{res}_{s=1} L(s,f\times f)=Z(1,f)M/\varphi(M)$$ (ecuación (2.35) en `Bajas ceros de las familias de $L$-funciones' por Iwaniec-Luo-Sarnak [nota de que el uso de la notación $L(s,f\otimes f)$ por lo que se describe como $L(s,f\times f)$).