¿Hay un ejemplo de una operación binaria no asociativa, conmutativa?
¿Una operación binaria no asociativa, conmutativa con identidad e inversas?
El único ejemplo de una operación binaria no asociativas que tengo en mente es el soporte de la mentira de conmutador. Pero no es conmutativa.
Aquí hay un ejemplo con elemento de identidad e inversas. En $\mathbb{R}_{\geq 0} $ definir $a * b = \left| a-b \right|$. Entonces $* $ es claridad conmutativa, $0$ es su identidad y el inverso de cualquier $a$ es en sí mismo. Sin embargo, no es asociativa, desde por ejemplo $2*(1*1) = 2$ mientras que $(2*1) * 1 = 0$.
Considere la posibilidad de la "piedra-papel-tijeras" operación $\ast$ en el conjunto $\{R, P, S\}$ donde podemos declarar cada elemento idempotente y declarar que el producto de dos elementos distintos para ser el ganador de acuerdo a las reglas habituales de piedra, Papel, Tijeras: \begin{array}{r|ccc} \ast y R & P & S\\ \hline R & R & P & R\\ P & P & P & S\\ S & R & S & S . \end{array} El diagrama de Cayley es simétrica, por lo que $\ast$ es conmutativo, pero $$(R \ast P) \ast S = P \ast S = S \neq R = R \ast S = R \ast (P \ast S),$$ por lo que $\ast$ no es asociativa.
Considerar $\Bbb R$ dotado de la media aritméticade la operación $$a \oplus b := \frac{a + b}{2}.$$ Es, claramente, la conmutativa, pero no asociativo, como $$(a \oplus b) \oplus c = \frac{a + b + 2c}{4}$$ pero $$a \oplus (b \oplus c) = \frac{2a + b + c}{4} .$$ (Es fácil ver que $\oplus$ no tiene identidad, y por lo tanto no inverso, a pesar de que es un quasigroup, lo que significa que para todo $a, b \in \Bbb R$ hay $z \in \Bbb R$ tal que $a \oplus z = b$.)
De hecho, esta construcción parece funcionar igual de bien, si tenemos que reemplazar $\Bbb R$ por cualquier (unital) anillo en los cuales us $2$ es invertible.
El ejemplo más simple de un no asociativo conmutativa operación binaria (pero que carecen de un elemento de identidad) es el dos-estructura de los elementos de $\{a,b\}$ con $aa=b$ y $ab=ba=bb=a;$ nota que $a=bb=(aa)b\ne a(ab)=aa=b.$ Esta es la NAND (o no) de la operación de la lógica proposicional, donde $a=\text{true}$ y $b=\text{false}$ (o viceversa). Ver esta respuesta o este.
Convolución de distribuciones es conmutativa, pero no necesariamente asociativo.
Tienes la identidad $R * (S * T) =(R*S) * T$ en el caso de que al menos dos de estas distribuciones son de soporte compacto. Si se viola esta condición, hay un contraejemplo estándar $$(1*\delta_0') * H = 1'* H = 0 * H = 0, \quad 1 * (\delta'_0*H) = 1 * H'= 1 * \delta_0=1. $$
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