No-asociativa conmutativa operación de binaria

Question

¿Hay un ejemplo de una operación binaria no asociativa, conmutativa?

¿Una operación binaria no asociativa, conmutativa con identidad e inversas?

El único ejemplo de una operación binaria no asociativas que tengo en mente es el soporte de la mentira de conmutador. Pero no es conmutativa.

Answer 1

Aquí hay un ejemplo con elemento de identidad e inversas. En $\mathbb{R}_{\geq 0}$ definir $a * b = \left| a-b \right|$. Entonces $*$ es claridad conmutativa, $0$ es su identidad y el inverso de cualquier $a$ es en sí mismo. Sin embargo, no es asociativa, desde por ejemplo $2*(1*1) = 2$ mientras que $(2*1) * 1 = 0$.

Answer 2

Considere la posibilidad de la "piedra-papel-tijeras" operación $\ast$ en el conjunto $\{R, P, S\}$ donde podemos declarar cada elemento idempotente y declarar que el producto de dos elementos distintos para ser el ganador de acuerdo a las reglas habituales de piedra, Papel, Tijeras: $$\begin{array}{r|ccc} \ast y R & P & S\\ \hline R & R & P & R\\ P & P & P & S\\ S & R & S & S . \end{array}$$ El diagrama de Cayley es simétrica, por lo que $\ast$ es conmutativo, pero $$(R \ast P) \ast S = P \ast S = S \neq R = R \ast S = R \ast (P \ast S),$$ por lo que $\ast$ no es asociativa.

Answer 3

Considerar $\Bbb R$ dotado de la media aritméticade la operación $$a \oplus b := \frac{a + b}{2}.$$ Es, claramente, la conmutativa, pero no asociativo, como $$(a \oplus b) \oplus c = \frac{a + b + 2c}{4}$$ pero $$a \oplus (b \oplus c) = \frac{2a + b + c}{4} .$$ (Es fácil ver que $\oplus$ no tiene identidad, y por lo tanto no inverso, a pesar de que es un quasigroup, lo que significa que para todo $a, b \in \Bbb R$ hay $z \in \Bbb R$ tal que $a \oplus z = b$.)

De hecho, esta construcción parece funcionar igual de bien, si tenemos que reemplazar $\Bbb R$ por cualquier (unital) anillo en los cuales us $2$ es invertible.

Answer 4

El ejemplo más simple de un no asociativo conmutativa operación binaria (pero que carecen de un elemento de identidad) es el dos-estructura de los elementos de $\{a,b\}$ con $aa=b$ y $ab=ba=bb=a;$ nota que $a=bb=(aa)b\ne a(ab)=aa=b.$ Esta es la NAND (o no) de la operación de la lógica proposicional, donde $a=\text{true}$ y $b=\text{false}$ (o viceversa). Ver esta respuesta o este.

Answer 5

Convolución de distribuciones es conmutativa, pero no necesariamente asociativo.

Tienes la identidad $R * (S * T) =(R*S) * T$ en el caso de que al menos dos de estas distribuciones son de soporte compacto. Si se viola esta condición, hay un contraejemplo estándar $$(1*\delta_0') * H = 1'* H = 0 * H = 0, \quad 1 * (\delta'_0*H) = 1 * H'= 1 * \delta_0=1.$$