$\mathbb{S}^2$ como un paquete de fibra de

Question

Yo sé, por el Hopf fibration, que $\mathbb{S}^3$ $\mathbb{S}^1$- fibra paquete de más de $\mathbb{S}^2$.

Puede $\mathbb{S}^2$ $\mathbb{S}^1$- fibra de paquete a través de algunas colector $M$?

Answer 1

Si $F\to E\to B$ es un haz de fibras, $\chi(E)=\chi(F)\cdot\chi(B)$. Pero $\chi(S^1)=0$$\chi(S^2)=2\ne0$, por lo que no hay $S^1$ bundle con el espacio total $S^2$ (o con cualquiera incluso dimensiones de la esfera para que la materia).

Answer 2

La respuesta es no. Supongamos $S^1\rightarrow S^2\rightarrow M$ es un haz de fibras de secuencia con $M$ un colector. Por el local, propiedad del producto, $M$ tiene dimensión $1$ como un colector y así es $\mathbb{R}$ o $S^1$. Sin embargo, el largo de la secuencia exacta en homotopy de este haz de fibras, tenemos una breve secuencia exacta: $$0\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\pi_2(M)\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow 0$$ and so $\pi_2(M)$ is non-trivial, hence $M$ no puede ser la línea real o el círculo.