Si $\int_0^\infty f(x)\,dx$ existe, entonces existe alguna función $g$ tal que $f=o(g)$ y $\int_0^\infty g(x)\mathrm\,dx$ existe

Question

Si $f$ es una función positiva tal que $\int_0^\infty f(x)\,\mathrm dx$ converge, demuestre que existe otra función $g$ tal que $\lim_{x \to \infty} \frac {g(x)} {f(x)} = \infty$ y $\int_0^\infty g(x)\,\mathrm dx$ también converge.

Answer 1

Por cada $x\geqslant0$ , dejemos que $F(x)=\int_x^\infty f(t)\,\mathrm dt$ y $g(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{F(x)}}$ Entonces:

• $\int_0^\infty g(t)\,\mathrm dt=2\sqrt{F(0)}$ es finito,
• $f(x)=o(g(x))$ cuando $x\to\infty$ .

Estas dos afirmaciones se mantienen por la misma razón, que es que $F(x)\to0$ cuando $x\to\infty$ .

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Ejercicio: Adapte este ejemplo para demostrar que para toda secuencia no negativa $(a_n)$ tal que $\sum\limits_na_n$ converge existe alguna secuencia no negativa $(b_n)$ tal que $a_n=o(b_n)$ y $\sum\limits_nb_n$ converge.