Polinomios "convexos"

Question

Permítanme definir los polinomios "convexos", como la clase más pequeña $\mathcal{C}$ de las funciones $p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definido (inductivamente) como:

ACTUALIZADO (faltaba el caso 0):

0) $p(x)=x$ es decir, la identidad, está en $\mathcal{C}$ .

1) $p(x)= 1$ está en $\mathcal{C}$

2) $p(x)= 1- q(x)$ , para $q\in \mathcal{C}$ , está en $\mathcal{C}$ .

3) $p(x) = c \cdot q(x) + (1-c) r(x)$ para algunos $c\in [0,1]$ y $q,r\in\mathcal{C}$ , está en $\mathcal{C}$ .

4) $p(x) = q(x) \cdot r(x)$ con $q,r\in\mathcal{C}$ , está en $\mathcal{C}$ .

Así que básicamente $\mathcal{C}$ incluyen todas las constantes $c\in[0,1]$ funciones, y es cerrado bajo las operaciones de combinación convexa, $1-$ y la multiplicación.

Está claro que para cada $p\in \mathcal{C}$ y $x\in [0,1]$ , $p(x)\in [0,1]$ también.

Pregunta: ¿Se conoce esta clase de funciones? ¿Se puede decir algo interesante sobre esta clase? Por ejemplo, creo que toda función continua $f:[0,1]\rightarrow[0,1]$ pueden ser aproximados por funciones en $\mathcal{C}$ . ¿Sería ésta una consecuencia (trivial?) del teorema de Stone-Weierstrass?

Gracias.

Answer 1

(Demasiado largo para un comentario)

Lema 1. Si $f\in\mathcal C$ no es constante, entonces $f^{-1}(\{0,1\})\subseteq \{0,1\}$ .

Prueba. La afirmación es claramente válida para las funciones de las reglas 0 y 1. Si en la regla 2 se cumple para $q$ entonces también para $p$ porque $0$ y $1$ simplemente se intercambian. Si en la regla 3 se mantiene para $q$ y $r$ también es válida para $p$ porque una combinación convexa dentro de $[0,1]$ puede producir un valor límite sólo si al menos una entrada es este valor límite. Si en la regla 4 se cumple para $q$ y $r$ también es válida para $p$ porque un producto i s $0$ si un factor es $0$ y el producto es $1$ si los dos hechos son $1$ . Por lo tanto, la afirmación se deduce por inducción. $_\square$

Como corolario, Alex Ravsky La conjetura tentativa del Sr. G. de la Cruz se ha roto: $\mathcal C$ no contiene todos los polinomios que mapean $[0,1]\to[0,1]$ . Por ejemplo, $p(x)=4x^2-4x$ no está.

(Creía que tenía más, pero he tenido que volver a rascarme)