No central subgrupo maximal entre abelian normal subgrupos es auto-centralización?

Question

Si $G$ es un supersolvabe grupo, y $A$ es la máxima entre abelian normal subgrupos de $G$, entonces el centralizador de $A$ $G$ $A$ (ver enlace).

Mi pregunta es acerca de la importancia de la hipótesis de que "$G$ es supersolvable".

Pregunta: Vamos a $G$ ser cualquier grupo, $Z(G)$ ser su centro, y $A$ ser una máxima entre abelian normal subgrupos de $G$, de tal manera que $Z(G)\neq A$ ( $Z(G)<A$ ). Demostrar o refutar: el centralizador de $A$ $G$ $A$ sí?

(Los ejemplos que encontré fueron producto directo de un grupo abelian con un no-abelian simple grupo; pero aquí no podemos tener un máximo de abelian normal subgrupo $A$ tal que $Z(G)\neq A$.)

Answer 1

Aquí es un contraejemplo de orden mínimo. Considerar el binario octaédrico grupo $2\mathcal{O}$ y deje $\langle x \rangle$ ser el subgrupo cíclico de orden $4$ que contiene $Z(2\mathcal{O})$, pero no está incluida en el subgrupo derivado de $2\mathcal{O}^\prime$. (Lo, $x^2$ genera el centro.)

Hay un $\sigma\in\operatorname{Aut}\left(2\mathcal{O}\right)$ orden $2$ definido por $\sigma:x\mapsto x^{-1}$. Construimos una semidirect producto sobre la base de que automorphism: vamos a $\langle z \rangle = C_2$ y considerar la posibilidad de $G=2\mathcal{O}\rtimes \langle z \rangle$ formado por $z\mapsto \sigma$.

Se observa que el $z$ corrige $x^2$, por lo que este grupo el mismo centro como $2\mathcal{O}$. Por lo tanto, $A=\langle x^2,z \rangle=Z(2\mathcal{O})\times \langle z \rangle$ es máxima entre abelian normal subgrupos. Sin embargo, su centralizador tiene orden de $48$ (en realidad es isomorfo a $\operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_3)\times \langle z \rangle$). Así que, este es un contraejemplo.

Para ver que este contraejemplo tiene un mínimo de orden, aviso de que el archivo binario octaédrico grupo es el más pequeño de contraejemplo donde $A$ es central.