Me han dicho que esta integral admite una forma cerrada $$ \int_0^{\Large\pi/3}\cosh^2\left(x/\sqrt{2}\right)\tan^3x \:dx$$ Pero una integración por partes con $u'(x)=\cosh^2\left(x/\sqrt{2}\right)$ $v(x)=\tan^3x$ produce el factor de $\tan^2x\sec^2x$ en mi nuevo integrante... La otra integración por partes, no parece que útil... Gracias por su ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
James Dunne
Puntos
1602
Sugerencia. Vamos a alinear $$ \cosh^2\left(x/\sqrt{2}\right)=\frac12\left( 1+\cosh \sqrt{2}x\right)$$ We have $$ \int_0^{\Large\pi/3}\cosh^2\left(x/\sqrt{2}\right)\tan^3x \:dx=\frac12\int_0^{\Large\pi/3}\tan^3x \:dx+\frac12\int_0^{\Large\pi/3}\cosh (\sqrt{2}x)\tan^3x \:dx$$ The first integral on the r.h.s. is easy, the second one reduces to evaluating $$ \int_0^{\Large\pi/3}e^{\sqrt{2}x}\tan^3(x) \:dx$$ and $$ \int_0^{\Large\pi/3}e^{-\sqrt{2}x}\tan^3(x) \:dx.$$ Integrating by parts twice, with $\displaystyle u'(x)=\bronceado^3(x)$ and $\displaystyle v(x)=e^{\sqrt{2}x}$ gives $$ \int e^{\sqrt{2}x}\tan^3(x) \:dx=\frac12 e^{\sqrt{2}x}(\sec^2 (x)-\sqrt{2}\tan(x))$$ lo que implica $$ \int e^{-\sqrt{2}x}\tan^3(x) \:dx=\frac12 e^{-\sqrt{2}x}(\sec^2 (x)+\sqrt{2}\tan(x))$ $ , A continuación, una forma cerrada que se deduce de su integral. Esperando que usted puede tomar desde aquí.
