Es un mapa de un homotopy de equivalencia si la suspensión es así?

Question

Vamos $X$, $Y$ se señaló CW complejos, $Y$ conectado y $f:X\to Y$ una asignación.

Hace la afirmación '$\Sigma f:\Sigma X\to\Sigma Y$ es un homotopy equivalencia' implica que $f$ es un homotopy equivalencia? '$\Sigma$' es la disminución de la suspensión.

Si no, es cierto, con algunas hipótesis adicionales en $Y$?

Además: Hace la afirmación '$\Omega f:\Omega X\to\Omega Y$ es un homotopy equivalencia' implica que $f$ es un homotopy equivalencia? '$\Omega$' es la loopspace.

Answer 1

Creo que la respuesta a tu primera pregunta es no. Deje $X$ ser conectado acíclicos CW-complejo no triviales grupo fundamental, por ejemplo, el espacio construido como ejemplo 2.38 en Hatcher. Este espacio tiene la propiedad de que $H_i(X) = 0$$i>0$$H_0(X) = \mathbb{Z}$, pero $\pi_1(X) \neq 0$. (En particular, $\pi_1(X)$ debe ser perfecto). Considerar el mapa de proyección $f: X \to pt$. Buscando $\pi_1$, $f$ no puede ser un homotopy de equivalencia.

Sin embargo, $\Sigma f: \Sigma X \to \Sigma pt$ es un homotopy de equivalencia. Para ver esto, observe que la suspensión aumenta la conectividad, lo que implica que ambos espacios son simplemente conectado. De ahí la homología de Whitehead teorema se aplica, la que dice que un mapa entre simplemente conectado CW-complejos es un homotopy de equivalencia si y sólo si se induce isomorphisms en todos los grupos de homología. El uso de la suspensión axioma en la homología, vemos que todos los $H_i(\Sigma X)$ $H_i(\Sigma pt)$ todos los $i>0$ son cero y por $i=0$$\mathbb{Z}$. A continuación, es fácil comprobar que $\Sigma f$ es un isomorfismo en todos los grados.

edit: en su suma, creo que la respuesta es sí, si se sustituye la homotopy de equivalencia débil homotopy de equivalencia. El teorema de Whitehead dice que $f: X \to Y$ es homotopy de equivalencia si y sólo si induce un isomorfismo en todas las $\pi_i$. Debido a $\Omega X$ $\Omega Y$ tiene el homotopy tipo de CW-complejos, podemos sustituirlos por CW-complejos con el precio de colocación de homotopy equivalencia con débil homotopy de equivalencia. Ahora tenga en cuenta que $Map_+(S^n,\Omega X) \cong Map_+(S^{n+1},X)$ y de manera similar a $Map_+(S^n,\Omega Y) \cong Map_+(S^{n+1},Y)$. En virtud de este isomorfismo $(\Omega f)_*$ corresponde a $f_*$.