Un paquete que no está asociado a un vector paquete.

Question

Deje $F\rightarrow E\stackrel{\pi}{\rightarrow} B$ ser un haz de fibras con estructura de grupo $G$. Sabemos que si podemos reducir la estructura de grupo a un subgrupo de $GL_n$ algunos $n$ (Diffeo$(\mathbb{R}^n)$ es suficiente, ya que se retrae a$GL_n$), entonces podemos reemplazar $F$ $\mathbb{R}^n$ a del formulario asociado un vector paquete.

Pregunta: Por que haces NO podemos reducir la estructura de grupo a un grupo que actúa linealmente en $\mathbb{R}^n$ (para algunos $n$)?

Tengo una vaga idea de lo que implica la elección de una lo suficientemente complicado colector $Y$ y tratando de construir un paquete con fibra de $Y$, lo que, en cierto sentido, "los usos de la totalidad de la estructura del grupo" Diffeo$(Y)$. Si esta "idea" es correcta me imagino que el paquete resultante va a ser muy grande. Hay un sencillo ejemplo que me estoy perdiendo?

Yo no he tenido suerte, pero para ser honesto no he trabajado duro en ella. Estaba esperando que alguien aquí ya habían estado expuestos a este problema. (Si quieres mi motivación, me pregunto si la teoría de haces de fibras tiene ninguna característica de las clases que no vienen de vector de paquetes)

Answer 1

Consideran que los espacios $Homeo(\mathbb{R}^n)$$Diff(\mathbb{R}^n)$. La segunda está contenida en la anterior, y es sabido que la inclusión no es un débil homotopy de equivalencia (y ni siquiera en en homotopy grupos). Por desgracia, la única decente de origen para este que he encontrado es http://mathoverflow.net/questions/96670/classification-of-surfaces-and-the-top-diff-and-pl-categories-for-manifolds

De todos modos, empezar con un mapa de $S^k \rightarrow Homeo(\mathbb{R}^n)$ que no podemos homotope en $Diff(\mathbb{R}^n)$. Entonces la costumbre de encolado de la construcción le da un paquete con fibra de $\mathbb{R}^n$ $S^{k+1}$ que no permite una $Diff$-estructura y por lo tanto no hay vector paquete de estructura.