¿Cuáles son los degradados y cómo debo utilizar?

Question

No dejo de ver este símbolo $\nabla$ alrededor y sé que suficiente para entender que representa el término "gradiente." Pero, ¿qué es un degradado? Cuando iba yo a querer usar una matemáticamente?

Answer 1

La ∇ (pronunciado "del") es un operador, más técnicamente. En 3D, que (más o menos), significa que el vector

< df/dx, df/dy, df/dz >

Por lo tanto, si f(x,y,z) = x^2 + y^3*z + sin(z), ∇f = < 2x, 3y^2*z, y^3 + cos(z) >

Es un poco más sutil que eso, técnicamente significa

< d/dx, d/dy, d/dz >

Y cuando usted hace ∇f, es como una especie de "multiplicación" de ∇ y f;

< d/dx, d/dy, d/dz > f = < d/dx f, d/dy f, d/dz f >

No sólo, el de la multiplicación, pero la operación.

Hay algunos prolijo propiedades del operador. Aquí hay un par:

• El más famoso es el ∇f se obtiene el gradiente de f. Es decir, en cualquier punto de (x,y,z), ∇f(x,y,z) es el vector que apunta en la dirección donde es más creciente. La magnitud de la misma es la magnitud del aumento.

  Esto es más fácil de entender con, digamos, un 2D f(x,y). Si f(x,y) representa la altura de un punto en (x,y), a continuación, ∇f(x,y) representa la línea de máxima pendiente a partir de ese punto. O más bien, si usted coloca una pelota en ese momento, iba a empezar a rodar en la dirección opuesta a la del vector gradiente.

• Normalmente, para multi-dimensional de las funciones, es más fácil para encontrar la derivada a lo largo de un eje (x, y, z, etc.). Con ∇, usted puede encontrar la derivada a lo largo de cualquier dirección arbitraria, mediante ∇f * u, donde * es el producto escalar de y u es el vector unitario a lo largo de la dirección en la que estamos calculando.

• ∇ también se utiliza para calcular la divergencia (cantidad que los vectores son "difundir") y curl (cantidad que los vectores son "curling") de un campo vectorial.

  La divergencia ∇ * f (producto escalar), y la curvatura es ∇ x f (producto cruzado)

  Ellos no son realmente "productos" en el sentido de. Más bien, cuando se quiere calcular la divergencia y el rizo y debe hacer d/dx * (something), que en realidad está haciendo d/dx (something) o d(something)/dx.