Hay un uno-uno en función continua $f:[0,1]\rightarrow[0,1]^2$?

Question

Hay un uno-uno en función continua $f:[0,1]\rightarrow[0,1]^2$?

Yo estaba tratando de demostrar que no hay tal función, pero no pudo.

Alguna sugerencia?

Answer 1

Si tal función existido, habría un continuo inversa. Debido a que la preimagen de un conjunto cerrado bajo la inversa sería sólo la de avance de la imagen de un conjunto cerrado en virtud de la función original. Ahora cada subconjunto cerrado de $[0,1]$ es compacto, por lo que será asignada por una función continua en un compacto, y por lo tanto cerrado, subconjunto de $[0,1]^2$.

Por lo que es suficiente para mostrar que no continua la función $f:[0,1]^2\to[0,1]$ es inyectiva. Para esto, se pueden encontrar dos caminos diferentes en $[0,1]^2$ que sólo se ponen de acuerdo en los criterios de valoración y utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que $f$ no es inyectiva.

Answer 2

El uso de la generalizada del Teorema de la Función Implícita. Este es el tipo de problema que debe ser útil para.

"Las diversas formas del teorema de la función implícita existen para el caso cuando la función f no es diferenciable..."

http://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_function_theorem

Answer 3

He aquí una alternativa de solución a través de las propiedades de los conjuntos conectados:

Supongamos por contradicción, una función de $\varphi$ existía, entonces habría un continuo inversa (cf. bebé Rudin 4.17) $$\varphi^{-1} : [0,1]^2 \rightarrow [0,1]$$ Now, $[0,1]^2 \setminus\{\varphi(1/2)\}$ is connected (since $\varphi$ is a bijection we are just removing one point from the square) and by properties of continuous functions we know that $\varphi^{-1}$ maps connected sets to connected sets (cf. baby Rudin 4.22) . But $$\varphi^{-1}([0,1]^2 \setminus\{\varphi(1/2)\}) = [0, 1/2)\cup(1/2, 1]$$ el que no está conectado, por lo que tenemos una contradicción y por lo tanto no hay tal mapa puede existir.