¿Cuál es la estrategia óptima al conducir a mi universidad: Esperar o tomar una ruta alternativa y (posiblemente) esperar?

Question

Cuando la bicicleta a mi universidad, estoy enfrenta a una difícil decisión. La situación se muestra aquí:

Tengo que llegar al punto marcado con el $\times$, pero en fin, tengo que cruzar una carretera con un tráfico de luz en los lugares donde el cruce es posible. Si el primer semáforo (en la parte inferior) es de color verde, entonces no hay debate; yo, simplemente, de la cruz y sube el $A$ sin tiempo de espera. La elección surge cuando es de color rojo (como es siempre el caso, de todos modos), ya que puede optar por esperar a la primera luz para cambiar, o ir por un camino más $B$ y, a continuación, intente la cruz en el segundo semáforo.

Vamos a suponer que las dos luces de tráfico son idénticos w.r.t. el porcentaje del tiempo en que están en rojo (vamos a llamar a esta cantidad $\Theta$), pero que la segunda es la fase desplazada con $\tau$ w.r.t. la primera, s.t. el segundo de los cambios, por ejemplo, el verde de un tiempo de $\tau$ después de la primera. La longitud de la $L$ de los caminos son idénticos y yo bicicleta con una velocidad constante $v$ (aunque sospecho que estos dos últimos son irrelevantes para la solución). No sé nada acerca de la luz antes de llegar a él. La pregunta entonces se convierte en

Si llego en un tiempo aleatorio durante el cual el primer semáforo está en rojo, dado $\Theta$ $\tau$ (e $L$$v$), debo

1. esperar a la primera luz e ir por el camino de $A$, o debo
   
2. ir por el camino de $B$

con el fin de minimizar el tiempo de espera?

El tipo de solución que estoy buscando mejor puede ser formulada de si primero vamos a analizar dos ejemplos:

El $\mathbf{I}$'s representan el tiempo durante el cual el semáforo está en rojo - el espacio entre ellos representan la luz verde del semáforo. Las líneas representan mi posición si elegí para ir a por $B$. Si llego a la primera luz roja durante la azul tramo, debo ir por $B$; si yo, por otro lado, llegar durante el rojo tramo, yo me voy a esperar y ir a por $A$. Como puede verse en los dos escenarios de $(a)$ $(b)$ (donde las líneas representan mi posición debo elegir el camino de $B$, y donde la pendiente está determinada por $L$$v$), mi elección depende de la $\tau$, que es el único parámetro que ha sido cambiado.

Si llamamos a la longitud de la tira azul $t_{\text{go}}$ y la longitud de la tira roja $t_{\text{wait}}$, s.t. $t_{\text{go}}+t_{\text{wait}}=\Theta$, la solución debe ser de la forma $$t_{\text{go}}(\tau)$$

No creo $v$ $L$ deberían jugar un papel importante, ya que el efecto de cambiar estas pueden ser incorporados en $\tau$, por lo que probablemente podría establecer $v=L=1$. Supongo que no debería ser muy simple forma geométrica de la solución de este, pero por el momento es eludir mí.

Algunas observaciones al azar: Si $v=\frac{L}{\tau}$ no importa lo que yo elija. También, si la segunda luz es independiente de la primera, yo siempre debe ir por $B$, ya que no voy a tener al menos un $1-\Theta$ de probabilidades de obtener una luz verde.

Cualquier ayuda se agradece mucho!

Answer 1

Vamos a empezar por una que representa la fase de la luz por el círculo completo, de los cuales el primero $\theta$ arco corresponde a una luz verde, y deje $\tau$ representan el desplazamiento de fase entre las dos luces. Deje $\phi$ representan el desplazamiento de fase inducida por el tiempo para ir desde la primera luz hasta el segundo semáforo.

La imagen muestra en rojo el momento de la primera luz está en verde y en azul el momento de la segunda luz es de color verde. Si usted toma un punto de $s$ no $[0,\theta]$, que estará en el segundo semáforo en $s+\phi$. Así que si usted espera en frente de la primera luz que usted esperaría $2\pi -s$, y si usted va para la segunda luz que usted esperaría $w(s)$ (ver abajo).

La función de espera cuando va a la otra luz es en tres de los casos, llegar antes de la segunda luz es de color verde, después, o que llegue durante este tiempo. $$ w(s) = \begin{cases} t - (s+\phi) & \mathrm{ if }\; s+\phi <\tau\\ 2\pi + \tau - (s+\phi) & \mathrm{ if }\;s+\phi >\tau + \theta\\ 0 & \mathrm{ otherwise} \end{casos} $$

Ahora la estrategia "vamos a ir a la segunda luz" es mejor que la de "esperar a la primera luz de la estrategia de" si y sólo si $\mathbb{E}[2\pi -s]$ es mayor que $\mathbb{E}[w(s)]$ $s \in ]\theta,2\pi[$ (suponiendo que usted no tiene ninguna información adicional además de el color de la luz al llegar delante de la primera luz).

Editar: Me olvidé de algunos de los factores que en mis cálculos iniciales, por lo que el resultado estaba completamente equivocado. Parece que David K hizo bien las cosas de todos modos.

Por cierto, hay una muy simple argumento para ver que va a la segunda luz es siempre al menos tan buena como se espera. La transformación de $s \to s + \phi$ es la medida de preservación, así que lo que importa es cuánto del círculo está cubierto por su codominio; y desde esta área se encuentra en la mayoría de los $2\pi-\theta$ (la cual se alcanza cuando ambas luces están sincronizados y con un desplazamiento de fase de $2\pi$), esto significa que no se puede hacer peor de lo que espera en la primera luz.

(Sin embargo, esto supone que todas las luces de la estancia verde para la misma cantidad de tiempo, así que esto no aplica para el ejemplo de la vida real).

Answer 2

Vamos a elegir una unidad de tiempo, de manera que cada ciclo de luz es exactamente una unidad de longitud.

Como te has dado cuenta, si $v = \frac L\tau$ no importa que la elección que haga. De hecho, desde que se llega a la segunda luz exactamente $\frac Lv$ unidades de tiempo más tarde de lo que llegó a la primera luz (si usted decide intentar la segunda luz), el tiempo de espera estimado en el segundo semáforo será exactamente el mismo como la espera tiempo de espera de una luz en la ubicación de la primera luz, pero desfasadas $\frac Lv$ unidades anteriores a la segunda luz, lo que sí es desfasadas $\tau$ unidades más tarde de la primera luz. Así que elegir para ir a la segunda luz es equivalente a hacer una elección irrevocable para el cambio de fase de la primera luz $\tau - \frac Lv$ unidades posteriores. Por otra parte, desde la fase de desplazamiento por cualquier número entero de unidades de tiempo no tiene ningún efecto, podemos decir que la elección de la segunda luz es equivalente a la de cambio de fase la primera luz por $\delta$, donde $0 \leq \delta < 1$ y existe un número entero $N$ tal que $N + \delta = \tau - \frac Lv$.

Supongamos que usted llegue a la primera luz en el momento $t$, donde $t=0$ si la luz es suficiente girar el rojo y el $t=\Theta$ si la luz gira de nuevo en verde. Suponiendo que la primera luz es de color rojo cuando usted llega, $0 \leq t < \Theta$. Además de esta restricción, hay tres posibles casos a considerar: \begin{align} t &< \Theta + \delta - 1 \tag1 \\ \Theta + \delta - 1 \leq t &< \delta \tag2 \\ \delta \leq t & \tag3 \\ \end{align} Que los casos son incluso posible depende de $\Theta$$\delta$. Esencialmente, al cambiar el ciclo de luz por $\delta$, encienda la luz verde para una parte del tiempo que hubiera sido de color rojo. Supongamos que la parte del ciclo que era de color rojo y ahora es verde empieza en el momento $\alpha$ y termina en el momento $\beta$. Si $\delta > 1 - \Theta$,$\alpha = \Theta + \delta - 1$; de lo contrario,$\alpha = 0$, descartar el caso de $(1)$. Si $\delta < \Theta$,$\beta = \delta$; de lo contrario,$\beta = \Theta$, descartar el caso de $(3)$. Si $\delta = 0$, en el Caso de $(2)$ es descartado (y no hace ninguna diferencia qué camino tomar); pero, en Caso de $(2)$ es posible siempre que $\delta \neq 0$.

En el caso de $(1)$, se obtiene una luz verde en el momento $\Theta + \delta - 1$, que es $1 - \delta$ unidades de tiempo antes de lo que han conseguido sin el cambio de fase.

En el caso de $(2)$, el cambio de fase, se enciende la luz verde, y se puede cruzar $\Theta - t$ unidades de tiempo antes de lo que sin el cambio de fase.

En el caso de $(3)$, que llegó a la primera luz después de la porción de la el ciclo de luz que se puso verde por el cambio de fase; se terminan cruzando $\delta$ unidades de tiempo más tarde de lo que hubiera sin el cambio de fase.

Suponiendo que la distribución de su hora de llegada dentro de la el ciclo de luz es uniforme, el cambio esperado en el tiempo de espera (positivo para el aumento de la espera, de la negativa para la disminución de la espera), dado que vas a llegar en el primer semáforo cuando está en rojo, es por lo tanto \begin{align} E[\Delta T] &= \frac 1\Theta \int_0^\alpha (\delta - 1) \,dt + \frac 1\Theta \int_\alpha^\beta (t - \Theta) \,dt + \frac 1\Theta \int_\beta^\Theta \delta \,dt \\ &= \frac \alpha\Theta(\delta - 1) + \frac 1\Theta \left(\frac12 \beta^2 - \frac12 \alpha^2\right) - \frac{\beta - \alpha}{\Theta} \Theta + \frac{\Theta - \beta}{\Theta} \delta \\ &= \frac{1}{2\Theta}(\beta^2 - \alpha^2) + \frac \alpha\Theta(\delta - 1) + \alpha - \beta + \frac{\Theta - \beta}{\Theta} \delta \\ &= \frac{1}{2\Theta}(\beta^2 - \alpha^2) + \frac \alpha\Theta(\Theta + \delta - 1) + \frac{\Theta - \beta}{\Theta} (\Theta + \delta) - \Theta \end{align}

La razón por la aparentemente peculiar reordenamiento de los términos en el la última línea de la ecuación anterior es que sabemos que cualquiera de las $\alpha = 0$ (en cuyo caso la implican $\alpha$ desaparece) o $\alpha = \Theta + \delta - 1$ (en cuyo caso el término se convierte en $\frac1\Theta (\Theta + \delta - 1)^2$); también sabemos que cualquiera de las $\beta = \Theta$ (en cuyo caso el plazo que implican $\beta$ desaparece) o $\beta = \delta$ (en cuyo caso dicho plazo se convierte en $\Theta - \frac1\Theta \delta^2$). Entonces tenemos los siguientes cuatro respuestas posibles, dependiendo de si $\delta \leq 1 - \Theta$ (es decir, $\alpha = 0$) y en si $\delta \geq \Theta$ (es decir, $\beta = \Theta$):

Caso $\Theta \leq \delta \leq 1 - \Theta$: $$E[\Delta T] = -\frac{\Theta}{2}.$$

Caso $\delta \leq 1 - \Theta, \delta < \Theta$: $$E[\Delta T] = -\frac{\delta^2}{2\Theta}.$$

Caso $\delta > 1 - \Theta, \delta \geq \Theta$: $$E[\Delta T] = \frac{(\Theta + \delta - 1)^2 - \Theta^2}{2\Theta}.$$

Caso $1 - \Theta < \delta < \Theta$: $$E[\Delta T] = \frac{(\Theta + \delta - 1)^2 - \delta^2}{2\Theta}.$$

Usted debe esperar a la primera luz de la si $E[\Delta T]$ es positivo, pero ir a la segunda luz si $E[\Delta T]$ es negativo. Si $E[\Delta T] = 0$ cualquiera de las opciones es igualmente buena.

En las dos primeras fórmulas para $E[\Delta T]$, donde $\delta \leq 1 - \Theta$, claramente es siempre ventajoso para probar la segunda luz, si la primera es de color rojo, a menos que $\delta = 0$ (en cuyo caso no hace diferencia). En las otras fórmulas, donde $\delta > 1 - \Theta$, tenemos $\Theta + \delta - 1 > 0$, por lo que $(\Theta + \delta - 1)^2 - \Theta^2$ es negativo si y sólo si $\Theta > \Theta + \delta - 1$, es decir, si y sólo si $\delta < 1$, lo cual es cierto. Por razones similares, $(\Theta + \delta - 1)^2 - \Theta^2$ es negativo si y sólo si $\Theta < 1$, que, presumiblemente, también es cierto.

Así que parece que, salvo el caso de $\delta = 0$ (donde obviamente no hace ninguna diferencia qué camino tomar), siempre es más ventajoso para ir a la segunda luz, si la primera es de color rojo.