Aclarar: "$S^0$, $S^1$ y $S^3$ son las únicas esferas que también son grupos"

Question

El cero, uno y tres dimensiones en las esferas $S^0$, $S^1$ y $S^3$ están en bijection con los conjuntos de $\{a\in \mathbb{K}:|a|=1\}$ $\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}$ respectivamente. La real, complejo y quaternionic multiplicación por lo tanto, proporcionar un grupo de operación en estas esferas.

Esto se menciona en el libro: Kristopher Tapp (2011), la Matriz de Grupos de estudiantes de Pregrado, de la India Edición, p 40.

Siguiendo esta no es una declaración:

Resulta que $S^0$, $S^1$ y $S^3$ son las únicas esferas que son también los grupos.

Por favor alguien puede aclarar esta afirmación? ¿Cómo son estas tres las únicas esferas que son también grupos?

Por ejemplo, yo podría tomar cualquier ámbito $S^k$ ($k\ge 1$) y obtener un bijection $f:S^k \to S^1$ y definir una operación binaria en $S^k$ $$a*b = f^{-1}(f(a)\cdot f(b))$$ y $S^k$ sería un grupo en virtud de esta operación.

Entonces, ¿qué significa exactamente la declaración anterior? ¿En qué sentido son estos los únicos tres esferas que son también grupos?

Answer 1

El relieve de la declaración en su pregunta, significa que la única esferas con el grupo de estructuras compatibles con la marcha de su estructura (es decir, la multiplicación por cualquier elemento fijo y tomar inversa son lisas) $S^0$, $S^1$ y $S^3$. En otras palabras, la única esferas que también son Mentira grupos son las tres esferas (de lo contrario, cualquier esferas se pueden hacer un grupo por medio de un conjunto teórico bijection entre la esfera y $(S^1, \cdot)$, como se ha señalado con razón).

Que $S^0$, $S^1$ y $S^3$ son las únicas esferas lisas estructura de grupo (es decir, de la Mentira de los grupos) se puede deducir el uso de Chevalley-Eilenberg la Mentira del álgebra cohomology. Primero debemos limitar nuestra búsqueda de las esferas con la Mentira de la estructura del grupo a $S^n$ $n>1$ como ya sabemos $S^0$ $S^1$ son Mentira grupos. Si $S^n$ es una Mentira, entonces es un equipo compacto y simplemente conectado a uno y por lo tanto debe ser semi-simple. Se sabe que cohomology de un compacto de Lie del grupo de $G$ es isomorfo a la Mentira de álgebra cohomology de $\mathfrak{g}$, y que si $\mathfrak{g}$ es semisimple, entonces $H^3(\mathfrak{g}, \mathbb{R})\neq 0$ (un 3-forma, lo cual representa un valor distinto de cero tercera Mentira álgebra cohomology de clase es $\alpha(X, Y, Z)=\langle X, [Y, Z]\rangle$ donde $\langle, \rangle$ es la Matanza de un formulario). Por lo tanto $H^3(S^n)\neq 0$ $n$ debe ser de 3. Como resulta, $S^3\cong SU(2)$.

Answer 2

Las esferas $S^0,S^1$ $S^3$ son las únicas esferas que son mentira grupos (un grupo que es una variedad diferenciable). La prueba utiliza el grupo cohomology (es decir, el estudio de los grupos a través de cohomology teoría) de las esferas. Echa un vistazo a la De Rham cohomology de la $n-$dimensiones de la esfera, la cual establece que $H^1(S^n\times I)$ $H^3(S^n\times I)$ igualdad $0$ mientras $n$ no es igual a $1$ o $3$ (en este caso). Aquí, $I$ es una real y el intervalo abierto (por ejemplo, los números reales). Echa un vistazo a los siguientes enlaces:

http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology#The_n-sphere http://planetmath.org/spheresthatareliegroups