Cuando se escriben en notación decimal, cada plaza de número en la mayoría de las $1000$ dígitos que no $0$ o $1$. Verdadero o falso?
Esta pregunta es a partir de la admisión de un concurso, así que no hay calculadoras debe ser utilizado.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta es la forma en que lo hice, pero estoy seguro de que hay mejores maneras.
Deje $x = 10^n - 1$$n\in\mathbb{Z}$, $x^2 = 10^{2n} - 2\times10^n + 1 = 999\cdots9998000\cdots001 $
Deje $n>1001$, por lo que contamos con más de $1000$ nueves, hemos encontrado un número cuadrado, con más de $1000$ dígitos que no $0$ o $1$, por lo que es falso.
GmonC
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Esto es tan manifiestamente falso que creo que no vale la pena la construcción de una muy detallada contraejemplo. La relación de los sucesivos cuadrados $\frac{(n+1)^2}{n^2}$ disminuye y tiende a$~1$, lo que para cualquier $\epsilon>0$ hay una (fácil de encontrar) $~N\in\Bbb N$ tal que $1<\frac{(n+1)^2}{n^2}<1+\epsilon$ todos los $n\geq N$. Ahora tome un número $m$ dado por cualquier secuencia de dígitos que viole su condición de ($1001$ dígitos $7$) y encontrar $N$ correspondiente a $\epsilon=\frac1{10m}$. Ahora tome $k\in\Bbb N$ lo suficientemente grande para que $10^km>N^2$ y poner $n=\lfloor\sqrt{10^km}\rfloor$ (uno ha $n\geq N$). Entonces uno ha $10^km<(n+1)^2<10^k(m+\frac1{10})$ por lo que el número de $(n+1)^2$ comienza con los dígitos de $m$.
El mismo argumento muestra que cualquier secuencia finita de dígitos que se produce (infinitamente a menudo) como primer dígito de la secuencia de un cuadrado. También puede ser adaptado fácilmente a muchas otras clases de números con una densidad similar.
Dark Shikari
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Per Hornshøj-Schierbeck
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Aquí está la primera cosa que me sacó de una telaraña cubierta de esquina en el cerebro de edad. Similares en espíritu a la de Oliver $$ \begin{aligned} 35^2&=1225\\ 335^2&=112225\\ 3335^2&=11122225\\ \cdots&=\cdots \end{aligned} $$ Aquí $x_n=333\ldots5=(10^n+5)/3$. Por lo tanto $$ x_n^2=\frac{10^{2n}+10^{n+1}+25}9. $$ El primer $(n-1)$ dígitos de los que son iguales a los de $10^{2n}/9$, es decir, todos. Del mismo modo la próxima $n$ dígitos son todos de dos en dos.
Para $111\ldots11^2$ uno puede decir algo preciso también. Este problema muestra que si el número de unos en la cadena de dígitos es$n=9q+r, 0\le r<9,$, a continuación, algunos de los dígitos de la plaza es $81q+r^2$. Como el número de dígitos en la plaza es acerca de $2n\approx 18q$ el promedio de dígitos tiene que ser acerca de $81/18=9/2$, y por lo tanto el número de no-$0/1$s crece sin un límite.
Philip Fourie
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Me gusta tu respuesta mejor, pero he aquí otra de todos modos.
Fix $n$. Deje $x=\sum_{k=0}^n10^{kn}$. A continuación,$x^2=\sum_{j=0}^{2n}\left(n-\left|n-j\right|+1\right)\,10^{nj}$. Por ejemplo, con $n=3$ tenemos $$1001001001^2=1002003004003002001$$
$x^2$ contiene los distintos subcadenas $1$ a través de $n$ dos veces, y $n+1$ en el centro. (Las cuerdas se alejan entre sí, separados por más y más $0$s demasiado rápido para dos cadenas de interactuar de forma aditiva.) Así que con lo suficientemente grande como $n$, usted puede conseguir cualquier número de dígitos que no $0$ o $1$. (O, además, no son iguales a $9$; a pesar de que me gusta su respuesta, no se extiende a la si $9$ es añadido a la lista de los dígitos). Un cálculo rápido sugiere $n=271$ obras para la situación descrita en la pregunta. (Contando la duplicación de cada cadena, hemos visto de la 2 a la 9 en el lugar de las unidades $54$ veces $432$ no 0, no 1 dígitos. Hemos visto de la 2 a la 6 en el lugar de las decenas $60$ los tiempos de cada uno, para $300$ más. 8 y 9 en el lugar de las decenas $40$ los tiempos de cada uno, para $80$ más. 7 ha sido en el lugar de las decenas $44$ veces. Y 2 ha sido en la posición de centenas $144$ veces. Ahora $432+300+80+44+144=1000$ no 0, no 1 dígitos, y esto incluso no cuentan los 272 que en el centro.
Creo que usted puede conseguir el mismo efecto sin dejar que los números crecen tan increíblemente grande con $x=\sum_{k=0}^n10^{k\lceil\log_{10}(n+2)\rceil}$. Por ejemplo, con $n=3$ esto da
$$1111^2=1234321$$
y con $n=9$ esto da
$$1010101010101010101^2=1020304050607080910090807060504030201$$
El logaritmo es determinar cuántos ceros se necesita como mínimo como amortiguadores para evitar aditivo de la interacción. De nuevo el uso de $271$, entonces este método produce una $x$ $813$ dígitos, en comparación con el su $x$ que tiene 1000 dígitos.
Tengo curiosidad por lo que el más pequeño $x$ es tal que $x^2$ tiene más de 1000 no 0, no 1 dígitos. Mi $x$ es un límite superior que es un poco más grande que la de $10^{813}$, e $10^{500}$ es un límite inferior.
