Base (álgebra lineal)

Question

Vamos a tener vectores $v_1,v_2,v_3,v_4\in \mathbb R^4$. Demostrar que estos vectores de la forma (1), determinar si son ortogonales y/o ortonormales (2). Luego de hacer una transición de la matriz $T_{\epsilon\alpha}$ a partir de la base de $\alpha$ a un estándar de base y se utiliza para obtener las coordenadas de los vectores $w=(2,3,5,1)_\alpha$ en el estándar de la base (3). $$v_1=(1,1-1,1),v_2=(1,-1-1,-1),v_3=(0,1,0,-1),v_4=(1,0,1,0) $$ (1) Demostrar que estos vectores forman una base.

Yo hice la siguiente: $$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 &1 \\ 1 & -1 & -1 &-1 \\ 0 & 1 & 0 &-1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)=$$ $$\left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 &1 \\ 1 & -1 & -1 &-1 \\ 0 & 1 & 0 &-1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right|=-8 \ $$ $|A| \neq 0 \implies$ Vectores $v_1,v_2,v_3,v_4$ son linealmente independientes, y la forma base.

(2) Determinar si son ortogonales y/o ortonormales.

Yo hice la siguiente: $$v_1\cdot v_2=(1-1+1-1)=0$$ $$v_1\cdot v_3=(0+1+0-1)=0$$ $$v_1\cdot v_4=(1+0-1+0)=0$$ $$v_2\cdot v_3=(0-1+0+1)=0$$ $$v_3\cdot v_4=(0+0+0+0)=0$$ $\implies$ Base es ortogonal. $$|v_1|=\sqrt {1+1+1+1}=\sqrt4=2$$ $$|v_2|=\sqrt {1+1+1+1}=\sqrt4=2$$ $$|v_3|=\sqrt {0+1+0+1}=\sqrt2$$ $$|v_4|=\sqrt {1+0+1+0}=\sqrt2$$ $\implies$ No existe una base ortonormales.

(3) Hacer una transición de la matriz $T_{\epsilon\alpha}$ a partir de la base de $\alpha$ a un estándar de base y se utiliza para obtener las coordenadas de los vectores $w=(2,3,5,1)_\alpha$ en el estándar de la base.

$$T_{\epsilon\alpha}=A^{-1}=\left( \begin{array}{cccc} \frac14 & \frac14 & 0 & \frac12 \\ \frac14 & -\frac14 & \frac12 &0 \\ -\frac14 & -\frac14 & 0 & \frac12 \\ \frac14 & -\frac14 & -\frac12 & 0 \end{array} \right)$$

$$u=A^{-1} w$$ Where $u$ es en el estándar de la base?

Es (1) y (2) es correcta y me puede ayudar con (3) ?

Answer 1

Es importante recordar que un vector $w$ escrito en términos de base $\alpha = \{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ tiene la forma:

$$( a, b, c, d)_{\alpha} = av_1 + bv_2 + cv_3 + dv_4$$

También es importante recordar que cuando sus vectores $v_i$ están escritas en términos de las coordenadas, que estas son las coordenadas con respecto a la norma base. Por ejemplo,

$$( 1, 0, 0, 0)_{\alpha} = v_1 = (1, 1, -1, 1)_{\epsilon}$$

Por lo tanto, la matriz de $T_{\epsilon \alpha}$ debe tener la propiedad de que:

$$T_{\epsilon \alpha} (a,b,c,d) = a( 1, 1, -1, 1)+ b( 1, -1, -1,-1) + c( 0, 1, 0, -1)+ d( 1, 0, 1, 0)$$

Por lo tanto, $T_{\epsilon \alpha} = A$, la matriz que hemos escrito anteriormente, en cuyas filas son el estándar de la base de la representación de los vectores $v_i$ en el orden dado.

Answer 2

Deje $A$ ser la matriz que transforma el estándar base a $\alpha$. Entonces las columnas de a $A$ son sus vectores $v_1,v_2,v_3,v_4$. También, para cada estándar elemento $e_i$,$Ae_i=v_i$. Por lo tanto $e_i=A^{-1}v_i$. Por lo tanto, usted necesita para calcular el $A^{-1}$.