Aquí es una respuesta general a que en su mayoría sólo resume las consecuencias de Schur–Zassenhaus.
Hipótesis y objetivo: Supongamos que G es un grupo con un Hall de subgrupo N, que es el orden y el índice de N son coprime. Queremos describir G como la extensión de un grupo de la misma orden N, y determinar todas las descripciones hasta isomorphisms de G.
Observación 1: N es el único subgrupo de G de la misma orden de N. En particular, el isomorfismo tipo de N se determina, y la copia específica de N en G se determina como un subconjunto de G, y hasta un elemento de Aut(N) para la incrustación de objetos.
Observación 2: G es un semi-producto directo de Q ≅ G / N, y P se determina hasta conjugacy en G (Schur–Zassenhaus, o del teorema de Sylow en los 140 casos). En particular, el isomorfismo tipo de P se determina, la copia específica de P en G se determina hasta conjugacy por un elemento de N, y y la integración en una copia específica se determina un elemento de Aut(P).
Observación 3: La acción de P en N se determina hasta un par de elementos de Aut(Q)×Aut(N). En particular, si N es abelian, entonces este es el mismo como un Aut(Q)-clase conjugacy de Q-módulo de estructuras en N.
Observación 4: El inverso es cierto: dado un Aut(Q)-clase conjugacy de Q-módulo de estructuras en N tenemos un isomorfismo de la clase de G, la semi-directa del producto.
Resultado: por lo tanto, tenemos una correspondencia uno a uno entre clases de isomorfismo de grupos de G con la normal de abelian Sala de subgrupo N y el cociente Q ≅ G / N y el Aut(Q)-clases conjugacy de Q-módulo de estructuras en N.
Este utiliza la que N es normal en la Sala de subgrupo en varias ocasiones radicalmente simplificar los argumentos. Al menos, yo siempre trabajo con la característica de N, pero en este caso hemos de fuga de primera y segunda (y tercera) cohomology que simplifica varios pasos.
Más abajo a la tierra de los comentarios:
Por lo tanto solo contamos con homomorphisms de Q a Aut(N) hasta Aut(Q)×Aut(N) conjugacy. De G de orden 140, N de la orden de 35, lo que significa que N es cíclico de orden de 35 años, y Q es cíclico o primaria abelian de orden 4, y hay 6 y 5 clases de homomorphisms, respectivamente. Aparecen en el pdf que usted ha mencionado.
Para Q cíclica, se puede distinguir cada una de las acciones por lo que hace en el Sylow 5-subgrupo y la Sylow 7-subgrupo como el efecto puede ser descrito como intrínsecamente: centralizar, invertir, o (en el caso de la Sylow 5-subgrupo) "hacer un pedido de 4 cosa". Las tres posibilidades en el (normal) Sylow 5-subgrupo de combinar de todas las maneras posibles (debido a la CRT) con las dos posibilidades en el (normal) Sylow 7-subgrupo, dando tanto a la mayoría y por lo menos seis grupos distintos.
Para Q elemental abelian, las cosas son un poco más complejo, pero básicamente en el Sylow 5-subgrupo debe centralizar, o que tenga dos de sus elementos invertir. Si se centraliza, entonces tenemos dos posibilidades en la Sylow 7-subgrupo ( por lo (1)(2) + (1)(?) grupos hasta ahora). Si se invierte, entonces la cuestión es cómo muchos de los inversores de los 5 siguen siendo los inversores de la 7. Las respuestas son 0, 1, 2, dando un total de (1)(2) + (1)(3) = 5 grupos.
Uno debe obtener resultados similares para los grupos de orden 4pq , donde p, q son primos con p no dividir p-1 y q no dividir p-1, con exactamente uno de p, q , equivalente a 1 mod 4.
Por ejemplo, hay 11 grupos de orden (4)(5)(19) = 380 y de orden (4)(7)(13) = 364. Si ambas p y q son equivalentes a 1 mod 4, a continuación, obtener una posibilidad más en el cíclica de Q lado: (3)(3) acciones de forma individual, pero ahora importa si la orden de 4 de los 5 y la orden de 4 de las 7 de partido, dando (3)(3)+1 = 10 grupos cíclicos Q y 5 de primaria abelian Q.
