¿Alguien puede explicar el significado intuitivo de "integrar a ambos lados de la ecuación' a la hora de resolver ecuaciones diferenciales?

Question

Para resolver las ecuaciones diferenciales, especialmente los que son de la forma

g(x)dx = h(y)dy

vamos a resolver la ecuación por " integración en ambos lados para descubrir la solución.

La comprensión de este para 'la diferenciación de la ecuación en ambos lados' es relativamente fácil. Sabemos que podemos formular una alternativa de la ecuación en términos de los diferenciales de la ecuación original involucrados y salir con un nuevo 'diferencial' ecuación que tiene debido a las propiedades de los diferenciales.

Pero ¿cómo funciona la Integración de ambos lados?? Me estoy perdiendo cualquier punto aquí?? Me he referido a varios libros, pero ninguno de dar una explicación satisfactoria. La integración de una ecuación en ambos lados parece muy "mal", si me atrevo a usar la palabra.

Por favor, ayudar. Estoy atascado con esta cosa y yo sólo puede empezar a entender las ecuaciones diferenciales una vez que este se borra de mi cabeza.

Muchas gracias !

Answer 1

La ecuación original fue presumiblemente $$h(y)\frac{dy}{dx}=g(x),$$ o algo equivalente a esto.

Se le da el misterioso regla de la "división" $\frac{dy}{dx}$. Usted probablemente se dijo en algún momento que $\frac{dy}{dx}$ es no una fracción, y ahora de repente nos están tratando como una fracción!

Así que no nos dejemos dividir. Supongamos que $H(y)$ es una antiderivada de $h(y)$, es decir, una función cuya derivada con respecto a $y$$h(y)$. Deje $G(x)$ ser una función cuya derivada con respecto a $x$$g(x)$.

Reconocemos $h(y)\frac{dy}{dx}$, como la derivada con respecto al $x$ $H(y)$ (Regla de la Cadena). Así que nuestra ecuación puede ser escrita como $$\frac{d}{dx} H(y)=\frac{d}{dx}G(x).$$

Por lo tanto $H(y)$ $G(x)$ tienen la misma derivada respecto a $x$. Así que difieren por una constante, y nos encontramos con $$H(y)=G(x)+C.$$

Ahora la parte importante: esto es exactamente lo que obtenemos al "split" $\frac{dy}{dx}$ e integrar en ambos lados. Así que si o no la división y la integración tiene sentido, da la respuesta correcta.

Si lo desea, la división y la integración puede ser tratada como un sin sentido mnemónico que funciona, un "atajo" para el cálculo real usando la Regla de la Cadena. De hecho, los términos individuales $dy$ $dx$ puede ser sentido que se le da, pero es un poco complicado. Y Aplicada (y menos) la gente tiene una esencia correcta la intuición basada en la adición de "infinitamente pequeño" cantidades. Desafortunadamente, se necesita un esfuerzo considerable para hacer que la intuición riguroso.

Answer 2

El (separable) la ecuación diferencial que usted está interesado en, debe ser escrito en la forma $$g(x) = h(y) y'(x).\qquad (1)$$

La primera ecuación debe ser lo que su forma (en términos de diferenciales) medios y en qué sentido es equivalente a (1) (creo que esto ha sido respondida varias veces en este sitio, de lo contrario, consulte diferencial de una función).

Es un ejercicio fácil comprobar que la ecuación implícita $$\int_{x_0}^x\!dx\,g(x) = \int_{y_0}^{y(x)}\!dy\,h(y)\qquad (2)$$ resuelve (1) con la condición inicial $y(x_0)= y_0$:

• con respecto a la condición inicial: establecimiento $x=x_0$ obtenemos $0 = \int_{y_0}^{y(x_0)}\!dy\,h(y)$ que se resuelve con $y(x_0)=y_0$ (pero, por supuesto, también potencialmente a otras soluciones de ecuaciones no lineales puede tener varias soluciones)

• la prueba de que (2) es una solución de (1): tomamos la derivada con respecto al $x$ en ambos lados de (2). En el lado izquierdo obtenemos (con el teorema Fundamental del cálculo) $g(x)$. En el lado izquierdo obtenemos (usando la regla de la cadena) $h(y) y'(x)$ lo que demuestra la equivalencia de (2) y (1)

Así que al final, diciendo que la integración de ambos lados de la ecuación se resuelve la ecuación diferencial (1) puede ser visto como una forma de recuerdos de la forma de la solución (2).