La combinatoria de identidad $\prod_{j=1}^n {n\choose j} =\prod_{k=1}^n {k^k\over k!}$

Question

Cómo probar la combinatoria de identidad?

$$\prod_{j=1}^n {n\choose j} =\prod_{k=1}^n {k^k\over k!}$$

Tomé $\ln$ de la mano izquierda

$$\sum_{j=0}^n \ln(j^{n+1}) - \ln((j!)^2)$$

pero no va a ninguna parte desde aquí. cualquier ayuda es bienvenida

Answer 1

Empezar por volver a escribir el lado izquierdo:

$$\prod_{k=1}^n\binom{n}k=\prod_{k=1}^n\frac{n^{\underline k}}{k!}\;,$$

donde $n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+2)$, de modo que sólo necesitan demostrar que

$$\prod_{k=1}^nn^{\underline k}=\prod_{k=1}^nk^k\;.\tag{1}$$

Para $k=1,\ldots,n$ no es un factor de $k$ $n^{\underline j}$ si y sólo si $n\ge k>n-j$, es decir, si y sólo si $n\ge j>n-k$. Hay $n-(n-k)=k$ tales enteros $j$, lo $k$ aparece $k$ veces en el producto en el lado izquierdo de $(1)$. Por supuesto que también aparece $k$ veces a la derecha, de modo que los dos son iguales.

Answer 2

Aquí es otro enfoque algebraico.

Obtenemos

$$\begin{align*} \prod_{k=1}^n\binom{n}{k}&=\prod_{k=1}^n\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\\ &=\left(\prod_{k=1}^n\frac{1}{k!}\right)\left(\prod_{k=1}^n\prod_{j=n-k+1}^nj\right)\tag{1}\\ &=\left(\prod_{k=1}^n\frac{1}{k!}\right)\left(\prod_{k=1}^n\prod_{j=k}^nj\right)\tag{2} \\ &=\left(\prod_{k=1}^n\frac{1}{k!}\right)\left(\prod_{j=1}^n\prod_{k=1}^jj\right)\tag{3} \\ &=\left(\prod_{k=1}^n\frac{1}{k!}\right)\left(\prod_{j=1}^nj^j\right)\tag{4} \\ &=\prod_{k=1}^n\frac{k^k}{k!} \end{align*}$$

Comentario:

• En (1) podemos separar los productos de numerador y denominador

• En (2) cambiamos el orden de la multiplicación en el segundo doble del producto dejando $k \longrightarrow n-k$

• En (3) el intercambio de los productos de la segunda doble producto observando el rango del índice es $1\leq k\leq j\leq n$

• En (4) utilizamos $\prod_{k=1}^jj=j^j$

Answer 3

Acabamos de demostrar que el reclamo por la inducción en $n$.
El caso de $n=1$ es trivial, por lo tanto sólo tenemos que probar que:

$$\frac{n^n}{n!}=\prod_{j=1}^{n-1}\frac{\binom{n}{j}}{\binom{n-1}{j}}=\prod_{j=1}^{n-1}\frac{n}{n-j}=\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}$$ que es trivial así.

Answer 4

Tenemos, por producto operador $\prod$ propiedades $$\prod_{j=1}^{n}{ n \elegir j} = \prod_{j=1}^{n}{ n! \(n-j)!j! } = {\prod_{j=1}^n n! \\prod_{j=1}^n (n-j)!\cdot j!} = {(n!)^n \\prod_{j=1}^n (n-j)!\prod_{j=1}^nj!}$$ El resultado puede ser obtenido por inducción sobre n. La proposición $P(n):\prod_{j=1}^{n}\binom{n}{j}=\prod_{j=1}^{n}\frac{j^j}{j!}$ puede ser verificado por la $n = 2,3$ por simple inspección. Vamos a demostrar que para todos los $n\geq 3$ la proposición $P(n):\prod_{j=1}^{n}\binom{n}{j}=\prod_{j=1}^{n}\frac{j^j}{j!}$ es verdadera siempre que la proposición $P(n-1):\prod_{j=1}^{n-1}\binom{n-1}{j}=\prod_{j=1}^{n-1}\frac{j^j}{j!}$ es cierto. Para ello, vamos a probar tres igualdades.

$$\begin{align} (\ast)\quad (n!)^n =& n^n\cdot(n-1)^n\cdot (n-2)^n\cdot \ldots\cdot 3^n\cdot 2^n\cdot 1^n \\ =& n^n\cdot\color{red}{(n-1)}\cdot\color{blue}{(n-1)^{n-1}}\cdot \color{red}{(n-2)}\cdot\color{blue}{(n-2)^{n-1}}\cdot \ldots\cdot \color{red}{3}\cdot \color{blue}{3^{n-1}}\cdot \color{red}{2}\cdot \color{blue}{2^{n-1}}\cdot \color{red}{1}\cdot \color{blue}{1^{n-1}} \\ =& n^n\cdot \color{red}{(n-1)!}\cdot \color{blue}{(n-1)^{n-1}\cdot (n-2)^{n-1}\cdot \ldots\cdot 3^{n-1}\cdot 2^{n-1}\cdot 1^{n-1}} \\ =& n^n\color{red}{(n-1)!}\color{blue}{\big((n-1)!\big)^{n-1}} \end{align}$$ $$\begin{align} (\ast\ast)\quad\prod_{j=1}^{n}(n-j)! =& \color{red}{(n-1)!}\cdot\color{blue}{(n-2)!\cdot(n-3)!\cdot \ldots \cdot (n-(n-3))!\cdot(n-(n-2))!(n-(n-1))!(n-(n))!} \\ =& \color{red}{(n-1)!}\cdot\color{blue}{((n-1)-1)!\cdot((n-1)-2)!\cdot \ldots \cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!} \\ =& \color{red}{(n-1)!}\color{blue}{\prod_{j=1}^{(n-1)}((n-1)-j)!} \end{align}$$ y $$\begin{align} (\ast\ast\ast)\quad\prod_{j=1}^{n}j! =& n!\cdot \color{blue}{(n-1)!\cdot(n-2)!\cdot \ldots \cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!} \\ =& n!\color{blue}{(n-1)!\cdot((n-1)-1)!\cdot((n-1)-2)!\cdot \ldots \cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!} \\ =& n!\color{blue}{\prod_{j=1}^{(n-1)}j!} \end{align}$$ Entonces $$\prod_{j=1}^{n}{ n \elegir j} = {(n!)^n \\prod_{j=1}^n (n-j)!\prod_{j=1}^nj!} = {n^n\color{red}{(n-1)!}\color{blue}{\big((n-1)!\big)^{n-1}} \\color{red}{(n-1)!}\color{blue}{\prod_{j=1}^{(n-1)}((n-1)-j)!} n!\color{blue}{\prod_{j=1}^{(n-1)}j!}} = {n^n \sobre n!} \prod_{j=1}^{n-1}{ n-1 \elegir j}$$ Para obtener el resultado deseado, simplemente reemplace $P(n-1):\prod_{j=1}^{n-1}\binom{n-1}{j}=\prod_{j=1}^{n-1}\frac{j^j}{j!}$ en la última igualdad.