Punto límite de un conjunto infinito en un espacio compacto

Question

Estoy leyendo el test de Kolmogorov del libro en Análisis Real y estoy teniendo problemas de comprensión de la prueba de este teorema:

Si $T$ es un espacio compacto, entonces cualquier subconjunto infinito de $T$ tiene al menos un punto límite.

La prueba va como esto: Supongamos $T$ contiene un conjunto infinito sin límite de punto. A continuación, $T$ contiene un conjunto contables $X=\{x_1,x_2,...\}$ sin límite de punto. Pero entonces los conjuntos $X_n=\{x_n,x_{n+1},... \}$ formar un sistema centrado de conjuntos cerrados en $T$ (cada finito intersección es no vacía) con un vacío de intersección, es decir, $T$ no es compacto.

Mis preguntas son:

1. No entiendo por qué los conjuntos de $X_n$ están cerrados.
2. Si tomamos el intervalo de $[0,1]$ con la costumbre de la topología y de la secuencia de $x_n=1/n$, entonces la intersección de todos los $X_n$ debe ser el conjunto vacío, ya que no puede ser un número positivo porque la toma de $n$ lo suficientemente grande que el número de no estar en una colección infinita de la $X_n$ ni puede ser cero, ya $0$ no está en ninguno de los conjuntos. Estoy de comprender el concepto de intersección de una colección infinita de conjuntos?
3. Alternativamente, he pensado en esta prueba: supongamos que el teorema es falso , entonces para cada punto en $T$ podemos tomar un barrio que contiene a lo sumo un número finito de puntos de $X$, de esta manera se obtiene una cobertura de $T$, la extracción de un número finito de subcovering, al menos uno de los barrios deben contener un número infinito de puntos de $X$, contradicción.

Answer 1

Los conjuntos de $X_n$ están cerrados debido a que (por supuesto) el $X$ no tiene ningún punto límite.

Un punto de $y \in \overline{X_n}\setminus X_n$ sería un punto límite de $X_n$, por lo tanto, a fortiori, de $X$.

Su ejemplo de $x_n = \frac1n$ $[0,\,1]$ tiene un punto límite, es decir,$0$, y por lo tanto el de arriba no puede ser aplicado ($X_n$ no están cerrados, si se toma la intersección de la $\overline{X_n}$, se obtiene un vacío infinito intersección; el quid es que para cualquier secuencia $(x_k)$, la intersección $\bigcap_{k \in \mathbb{N}} \overline{X_k}$ es el conjunto de límite de puntos de $X = \{x_0,\, x_1,\,\ldots\}$).

Su alternativa de la prueba es correcta, y uno de los (muchos) estándar de pruebas.