¿Cuál es la diferencia entre un espacio métrico completo y un conjunto cerrado?
¿Puede un conjunto ser cerrado pero no completo?
Un espacio métrico es completo si toda secuencia de Cauchy converge (a un punto que ya está en el espacio). Un subconjunto $F$ de un espacio métrico $X$ es cerrado si $F$ contiene todos sus puntos límites; esto se puede caracterizar diciendo que si una secuencia en $F$ converge a un punto $x$ en $X$, entonces $x$ debe estar en $F$. También tiene sentido preguntarse si un subconjunto de $X$ es completo, porque cada subconjunto de un espacio métrico es un espacio métrico con la métrica restringida.
Resulta que un subespacio completo debe ser cerrado, lo cual esencialmente resulta del hecho de que las secuencias convergentes son secuencias de Cauchy. Sin embargo, los subespacios cerrados no necesariamente son completos. Como ejemplo trivial, comienza con cualquier espacio métrico incompleto, como los números racionales $\mathbb{Q}$ con la distancia habitual de valor absoluto. Como todo espacio métrico, $\mathbb{Q}$ es cerrado en sí mismo, por lo que tienes un subconjunto que es cerrado pero no completo. Si tomar todo el espacio parece hacer trampa, simplemente toma los racionales en $[0,1]$, los cuales serán cerrados en $\mathbb{Q}$ pero no completos.
Si $X$ es un espacio métrico completo, entonces un subconjunto de $X$ es cerrado si y solo si es completo.
@JonasMeyer Entonces, cuando Wikipedia escribe "un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite", ¿esto se hace bajo el supuesto de que el espacio es un espacio métrico completo? Lo pregunto porque ahí la entrada de Wikipedia estaría equivocada.
@Matt: No. Si $X$ es un espacio topológico y $A\subseteq X$, entonces un punto límite de $A$ es un elemento $x$ de $X$ tal que para todo subconjunto abierto $U$ de $X$ que contiene a $x$, $(U\setminus\{x\})\cap A\neq \emptyset$, y $A$ es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite si y solo si $X\setminus A$ es abierto en $X$. Esto se especializa al caso donde $X$ es un espacio métrico arbitrario, excepto que allí (o en otros espacios de primer conteo) los puntos límite se pueden caracterizar en términos de secuencias: $x$ es un punto límite de $A$ si y solo si existe una secuencia $(x_n)$ en $A$ tal que....
...$\lim_n x_n=x$ y $x_n\neq x$ para todo $n$. Sin asumir completitud, se puede demostrar usando esta caracterización de puntos límite en espacios métricos que la afirmación que aparece en Wikipedia es equivalente a la afirmación de que si $A\subseteq X$, entonces $A$ es cerrado si y solo si para cada secuencia $(x_n)$ en $A$ que converge a algún $x\in X$, debe ser el caso de que $x\in A$. (Para una dirección, note que si los términos son todos diferentes de $x$, entonces $x$ es un punto límite. Si no, entonces $x\in A$ porque $(x_n)$ es una secuencia en $A.)$. La completitud asegura que los subespacios cerrados son los mismos que...
En cierto sentido, un espacio métrico completo está "universalmente cerrado": Un espacio métrico $X$ es completo si y solo si su imagen por cualquier isometría $i : X \to Y$ es cerrada.
En efecto, si $X$ es completo, $i(X)$ es un subespacio completo de $Y$ por lo que $i(X)$ es cerrado en $Y; además, si $X$ es cerrado en su completación, entonces $X$ es completo en sí mismo.
La completitud pide un espacio: ¿converge cada sucesión de Cauchy a un límite en ese espacio? Este es el caso de R.
Un subconjunto de un espacio es cerrado si contiene sus puntos límite. Debería ser intuitivo que si eres un subconjunto de R, entonces cualquier sucesión en tu subconjunto que converge debe converger en R. Ahora la pregunta es: ¿ese punto seguirá estando en mi conjunto? Si es así, entonces es cerrado. Es por eso que, por definición, un intervalo cerrado en un espacio completo debe ser completo.
Pasos para demostrar que cualquier intervalo cerrado en R es completo.
Una cosa interesante acerca de tu pregunta que debe tenerse en cuenta. Un espacio métrico completo $Y$ es un espacio métrico $(Y,d_Y)$ tal que toda sucesión de Cauchy determinada por la métrica $d_Y$ es convergente a algún punto de $Y$. Un subconjunto cerrado $Y$ de un espacio métrico $X$ es un conjunto tal que cada sucesión convergente de puntos en $Y$ converge a un punto de $Y$ - con la métrica $(X,d)$.
Esto da lugar a una observación curiosa. Vamos a demostrar que todo subespacio completo $Y$ está cerrado en $X$; es decir, si $Y$ está dotado con la misma métrica que X y es completo con respecto a su métrica, entonces $Y$ está cerrado en $X$.
Prueba: Sea $d_Y: Y \times Y \rightarrow \mathbb{R}$ la métrica inducida de $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$. Entonces si $y \in X$ es el límite de una sucesión convergente de puntos en $Y$ con la métrica $d$, digamos $\left(y^{k}\right)_{n\in\mathbb{N}}$, entonces para cada $\epsilon>0$ existe un $N_{\epsilon}$ tal que $d(y_m,y_n)<\epsilon$ para todo $n,m>N_{\epsilon}$. Ahora, nota que podemos evaluar la función $d_Y$ en $(y_m,y_n),$ ya que cada coordenada pertenece a $Y$. Entonces para cada $\epsilon>0$ existe un $N_{\epsilon}$ tal que $d_{Y}(y_m,y_n)<\epsilon$ para todo $n,m>N_{\epsilon}$. Por lo tanto, $\left(y^{k}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ es de Cauchy y hay un punto $\bar{y} \in Y$ tal que $d_Y(y^{k}, \bar{y}) \rightarrow 0$. Dado que $d$ es igual a $d_Y$ para cada punto de $Y$, entonces $d(\bar{y},y) \leq d(\bar{y},y^{k})+d(y^{k},y)\rightarrow 0$. Finalmente, podemos concluir que $\bar{y}=y$ con $\bar{y} \in Y$ y $y$ pertenece a $Y$.
Esta es una prueba detallada. Me resultó bastante divertido demostrarlo sin utilizar un argumento circular.
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La integralidad y el cierre no son propiedades de los conjuntos; son propiedades de los espacios métricos y de los subconjuntos de espacios topológicos (que incluyen espacios métricos), respectivamente. El contexto lo es todo en matemáticas.
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