Elige un espacio vectorial real de dimensión par $V$ de dimensión $n$ y fijar una forma simpléctica $\omega$ sur $V$ . Míralo como un mapa $\omega:V\otimes V\to\mathbb R$ extendiéndolo desde $\Lambda^2V$ a $V\otimes V$ como cero en la parte simétrica. Fijar también un producto interno $\langle\mathord-,\mathord-\rangle$ en $V$ .
Dejemos que $k$ sea impar y tal que $1\leq k\leq n$ .
Dejemos que $W\subseteq V$ ser un $k$ -y que el subespacio $W^\perp$ y $W^{\perp\omega}$ sean los subespacios ortogonales a $W$ con respecto a $\langle\mathord-,\mathord-\rangle$ y a $\omega$ respectivamente. Sabemos que $\dim W^\perp=\dim W^{\perp\omega}=\dim V-\dim W$ .
La restricción $\omega|_{W\otimes W^\perp}:W\otimes W^\perp\to\mathbb R$ que escribiré para simplificar, sólo $\omega_W$ no es cero. En efecto, si fueron cero, tendríamos que $W^\perp$ está contenida en $W^{\perp\omega}$ por lo que de hecho estos dos subespacios ortogonales serían iguales, y en consecuencia tendríamos que $W\cap W^{\perp\omega}=W\cap W^\perp=0$ . Esto nos diría que $W$ es de hecho un subespacio simpléctico de $V$ , lo cual es absurdo porque es impar dimensional.
Ahora $\omega_W$ es un elemento de $\hom(W\otimes W^\perp,\mathbb R)$ que se identifica canónicamente con $\hom(W,\hom(W^\perp,\mathbb R))$ . El producto interior $\langle\mathord-,\mathord-\rangle$ se restringe a un producto interno en $W^\perp$ lo que nos permite identificar canónicamente (¡porque el producto interno es fijo!) $\hom(W^\perp,\mathbb R)$ con $W^\perp$ . Después de todas estas identificaciones, tenemos un vector no nulo $\omega_W$ en $\hom(W,W^\perp)$ .
Ahora, como se explica en un respuesta a una pregunta del modus operandi, $\hom(W,W^\perp)$ parametriza una vecindad de $W$ en $G(n,k)$ por lo que también se puede identificar con el espacio tangente a $G(n,k)$ en $W$ .
Así, vemos que la norma $W\mapsto \omega_W$ da un campo vectorial tangente no nulo.
