Si a es Un subconjunto de R con la medida de Lebesgue > 0, entonces existen a,b tales que la medida de $[a,b]\cap A$ es b-a?

Question

Si $A$ es un subconjunto de a $\mathbb{R}$ con medida de Lebesgue estrictamente mayor que $0$, de lo anterior se sigue, entonces, que hay $a$ $b$ tal que la medida de $[a,b]\cap A$$b-a$?

Gracias.

Answer 1

Lo que es realmente cierto es esto: para cada conjunto $C$ de medida positiva y cada una de las $\epsilon < 1$ hay algún intervalo abierto $(a,b)$ tal que $\mu(C \cap (a,b)) \geq \epsilon |b-a|$.

Yo siempre he visto esto como una instancia de uno de Littlewood tres principios para el análisis: un conjunto medible casi es un conjunto abierto.

Answer 2

En aras de la exhaustividad, la respuesta es no; un contraejemplo es dada por el Smith-Volterra-conjunto de Cantor, o grasa conjunto de Cantor.