Mónada = Reflectante Subcategoría?

Question

Después de responder a esta pregunta aquí acerca de Kleisli triples, me di cuenta de que todo este Kleisli triple de la construcción:

$T:{\rm Ob}\mathcal C\to{\rm Ob}\mathcal C$, $\ \eta_A:A\to TA$ para todos los $A\in {\rm Ob}\mathcal C$ y $f\mapsto f^* $ todos los $f:A\to B^T$ tal que

1. $\eta_A^*=1_{TA}$
2. $\eta_Af^*=f\ $ todos los $\ f:A\to TB\ $ (composición de la escritura de izquierda a derecha)
3. $(fg^*)^*=f^*g^*\ $ para todas las flechas $\ f:A\to TB,\ g:B\to TC$.

determina nada más, pero un reflexivo subcategoría $\ \tilde{\mathcal C}\ $ $\ \mathcal C$ (que consiste exactamente en las flechas de la forma $f^*$, entre los objetos de la forma $TA$):

La reflexión de cualquier $\ A\in{\rm Ob}\mathcal C\ $ $\ \tilde{\mathcal C}$está dado por $\eta_A$, y, a continuación, las condiciones de 2. los estados exactamente la reflexión de la propiedad (cualquier $f$$A$$\tilde{\mathcal C}$, es decir, $f:A\to TB$ exclusiva de los factores a través de $\eta_A$), y 1. y 3. asegúrese de que $\tilde{\mathcal C}$ va a ser una subcategoría.

Por el contrario, si un reflexivo subcategoría $\tilde{\mathcal C}$ es dado, podemos arreglar un reflejo de flecha a $\tilde{\mathcal C}$ a partir de cada objeto $A\in{\rm Ob}\mathcal C$, y llamarlos $\eta_A$, y su codominio $TA$. Entonces, como $TB\in{\rm Ob}\tilde{\mathcal C}$, para cada una de las $f:A\to TB$ tenemos una única factorización a través de $\eta_A$, y esto determina $f^*$, de modo que $f=\eta_Af^*$.

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Preguntas:

1. Es bien sabido que las mónadas por lo tanto son básicamente las mismas que reflectante subcategorías (por lo menos hasta el isomorfismo natural)?
2. Es este argumento deficiente en cualquier punto?

Actualización:

Pregunta 3. Partiendo de una (no completo) reflexivo subcategoría $\mathcal B$$\mathcal C$, entonces la construcción de $\tilde{\mathcal C}$ arbitrariamente fijado reflexión flechas $\eta_A$ como en el anterior, puedo ver que $\tilde{\mathcal C}\subseteq\mathcal B$ es un completo reflexivo subcategoría. Son necesariamente equivalentes? Si no, ¿qué más podemos decir acerca de ellos?

Answer 1

Creo que he encontrado.

Así, la situación es, de hecho, que cada uno (no necesariamente completas) reflexivo subcategoría determina una monada, y cada mónada determina un Kleisli triple que determina una reflexión subcategoría.

Sin embargo, estos procedimientos no inversos el uno al otro en ambas direcciones (en lugar de establecer una situación adjunto).

1. Si partimos de una mónada $T:\mathcal C\to\mathcal C$, construimos $\tilde{\mathcal C}$, considere la posibilidad de su mónada $\tilde T$, obtenemos el mismo: $T\simeq \tilde T$ (naturalmente isomorfo).
2. Por otro lado, si partimos de una reflexión subcategoría $\mathcal B$$\mathcal C$, y la revisión reflexiones para cada objeto $C\in{\rm OB}\mathcal C$ (es decir, coger a la izquierda adjunto de la inclusión $\mathcal B\hookrightarrow\mathcal C$), y construcción de la $\tilde{\mathcal C}$, bien podemos tener ese $\tilde{\mathcal C}$ es mucho menor que (y no es equivalente a) $\mathcal B$.

Por ejemplo, considere un arbitraria de la incrustación de $H:\mathcal{Grp}\hookrightarrow\mathcal{Set}$ (por ejemplo, $H(G):=\{G\}\times UG$ donde $UG$ es el conjunto subyacente de $G$), y deje $\mathcal B$ ser la imagen de $\mathcal{Grp}$$\mathcal{Set}$, que consiste en el "grupo homomorphisms' entre las series.

A continuación, $\mathcal B$ es un reflejo de la subcategoría de $\mathcal{Set}$, y la reflexión es el grupo de free functor, por lo que en este caso $\widetilde{\mathcal{Set}}$ consistirá únicamente en la ($H$-subyacente conjuntos de) libre de grupos, que es estrictamente menor que $\mathcal B$ sí.

Sin embargo, en general, por la construcción de $T$ para el reflexivo $\mathcal B\le\mathcal C$, tenemos $$\tilde{\mathcal C}\le \mathcal B\hookrightarrow \mathcal C^T$$ donde $\mathcal C^T$ el (Eilenberg-Moore) categoría de $T$-álgebras, y la primera de contención es completa y reflexiva.

Answer 2

Interesante. Creo que tienes razón. Permítanme intento de carne fuera de su argumento desde otra perspectiva basada en la alternativa de la definición de subcategorías reflexivas: una subcategoría $\tilde{\mathcal{C}} \subseteq \mathcal{C}$ es reflexivo en $\mathcal{C}$ cuando la inclusión functor $K : \tilde{\mathcal{C}} \rightarrow \mathcal{C}$ ha dejado adjoint $J : \mathcal{C} \rightarrow \tilde{\mathcal{C}}$ (MacLane).

Dada una monada $T : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ (trabajaremos con Kleisli triple formulario aquí) no es una subcategoría $\tilde{\mathcal{C}}$ donde$Ob\tilde{\mathcal{C}} = Ob\mathcal{C}$, y para todos los $f \in \mathcal{C}(A, T B)$ $f^\ast \in \tilde{\mathcal{C}}(A, B)$ ($\in \mathcal{C}(T A, T B)$).

La inclusión functor $K : \tilde{\mathcal{C}} \rightarrow \mathcal{C}$ es entonces definidas $K A = T A$ sobre los objetos y el $K f = f$ en morfismos.

Vamos a definir un functor en la dirección opuesta: $J : \mathcal{C} \rightarrow \tilde{\mathcal{C}}$ donde $J A = A$ sobre los objetos y el $J f = (\eta \circ f)^\ast$ en morfismos (functoriality sigue a partir de la mónada de las leyes).

Esta $J$ es de izquierda medico adjunto $K$ ($J \dashv K$) como hay una familia de bijections $\phi : \tilde{\mathcal{C}}(J A, B) \cong \mathcal{C}(A, K B)$ (es decir, un subconjunto de la bijections $\mathcal{C}(T A, T B) \cong \mathcal{C}(A, T B)$) definidas $\phi f = f \circ \eta = f'^\ast \circ \eta$ (donde $f'^\ast = f$ a partir de la definición de $\tilde{\mathcal{C}}$) y $\phi^{-1} f = f^\ast$, donde

$\phi^{-1} (\phi f) = (f'^\ast \circ \eta)^\ast = f'^\ast = f$

$\phi (\phi^{-1} f) = f^\ast \circ \eta = f$

(ambos siguientes a partir de la mónada de la ley: $g^\ast \circ \eta = g$).

Por lo tanto, $\tilde{\mathcal{C}}$ es un reflexivo subcategoría de $\mathcal{C}$. $\Box$.

Conversley, dado un reflexivo subcategoría $\tilde{\mathcal{C}}$ con la inclusión functor $K : \tilde{\mathcal{C}} \rightarrow \mathcal{C}$, entonces hay una izquierda adjoint $J \dashv K$. A continuación, tenemos un triple Kleisli ($KJ$, $\eta$, $K \phi^{-1}$) inducida por la contigüidad.

Lindo resultado! No estoy seguro cómo es útil todavía ;)

Por cierto, creo que el idempotente mónada resultado es que, en la categoría de álgebras de un idempotente mónada es un reflejo de la subcategoría (poco de información aquí: http://ncatlab.org/nlab/show/reflective+subcategoría)