Singularidades en el infinito

Question

Estoy un poco confundido sobre el concepto de singularidades en el infinito. Por ejemplo, en la función de $f(z) = 1/z$. Esto tiene una singularidad removible en el infinito, ya que $f(1/z) = z$ es analítica en cero.

Sin embargo, el residuo de $f(z)$ en el infinito es, por definición, $$\text{Res } 1/z^2 f(z) = -1.$$ que es distinto de cero.

Esto parece extraño; extraíbles singularidades en el plano complejo han residuo igual a cero. Si nos intuitivamente creo que de la definición de residuo a decir el coeficiente de $z^{-1}$, entonces también parece que tenemos una 'pole' de la orden, al menos, uno al infinito, a pesar del hecho de que se desvanece en el infinito. De nuevo, esto es en contraste con los puntos en el plano en el caso de funciones siempre volar en los postes.

Creo que esto muestra que la integral de Cauchy teorema de falla en el infinito, de modo que una función analítica en un barrio de infinito no necesariamente tiene un cero de contorno integral sobre una curva que encierra el infinito.

¿Qué otras patologías hacer singularidades en el infinito de la exhibición? ¿Alguien puede aclarar lo que está pasando aquí y lo que se debe vigilar? O una buena referencia?

Answer 1

Las funciones no tienen residuos, sino que los diferenciales de hacer. Cuando se quiere calcular el residuo de una función de $f(z)$ a un punto en el (finito) en avión, son realmente calcular el residuo de la $1$forma $f(z)\,dz$.

Si se intenta calcular el "residuo de una función" en una superficie de Riemann, usted encontrará que el resultado depende de la tabla elegida, que no tiene ningún sentido. Sin embargo, el residuo de un diferencial es invariante bajo un cambio de gráfico.

El diferencial de $\frac{dz}{z}$, en la de coordinar $w=1/z$$-\frac{dw}{w}$, lo que ha residuo$-1$$w=0$. Así, aunque el $1/z$ es holomorphic en $\infty$ (e incluso tiene un cero simple!), el diferencial de $dz/z$ tiene una simple polo. (De hecho, el diferencial de $dz$ tiene un doble polo en el infinito!) Por lo tanto $dz/z$ tiene residuos de igual magnitud y signos opuestos en$0$$\infty$.

Tambien es cierto que si $f(z)\,dz$ es holomorphic en$\infty$, entonces la integral de $f(z)\,dz$ alrededor de un pequeño círculo centrado en$\infty$$0$. El punto en el infinito no es diferente de cualquier otro punto.