No tengo ni idea de cómo empezar a resolver este problema. ¿Alguna ayuda, por favor?
El problema:
Supongamos que una función diferenciable $f:\mathbb R \to \mathbb R$ y su derivado $f'$ no tienen ceros comunes. Demostrar que $f$ sólo tiene un número finito de ceros en $[0,1]$ .
Supongamos que $(x_n)_{n\geq1}$ es una secuencia de infinitos ceros distintos de $f$ en $[0,1]$ . Desde $[0,1]$ es compacta, al sustituir eventualmente esta secuencia por una de sus subsecuencias, podemos suponer que existe un punto $y\in[0,1]$ tal que $\lim_{n\to\infty}x_n=y$ . Desde $f$ es continua, esto implica que $0=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(y)$ Así que $f$ se desvanece en $y$ también.
Ahora bien, como $x_n\to y$ tenemos $$f'(y)=\lim_{z\to y}\frac{f(z)-f(y)}{z-y}=\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(y)}{x_n-y}=0.$$ De ello se desprende que $y$ es un cero común de $f$ y $f'$ .
Un argumento diferente.
Supongamos que $f$ y $f'$ no tienen ceros comunes. Si $x\in\mathbb R$ sea un cero de $f$ entonces $f'(x)\neq0$ y $f$ es por tanto inyectiva en una pequeña vecindad $I=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ de $x$ en particular, el único cero de $f$ en $I$ es $x$ sí mismo. Esto demuestra que el conjunto de ceros de $f$ es discreto en $\mathbb R$ y, por lo tanto, interseca todo intervalo cerrado acotado en un conjunto finito.
Si el conjunto de ceros de $f$ en $[0,1]$ es infinito, entonces tiene un punto límite en $[0,1]$ . Desde $f$ es continua, el punto límite $x_0$ debe ser un cero de $f$ . Hay una secuencia $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ de ceros de $f$ que se acerca a $x_0$ . Así que $$ f'(x_0) = \lim_{n\to\infty} \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0} = \lim_{n\to\infty} \frac{0-0}{x_n-x_0} = 0. $$ Así que $x_0$ es un cero común de $f$ y $f'$ .
Demuestra el contrapositivo. Supongamos que $f$ es diferenciable y tiene infinitos ceros en $[0,1]$ . Ahora $[0,1]$ es compacto, por lo que existe una sucesión de ceros $x_{n_k}$ tal que $f(x_{n_k}) = 0$ . También converge a un punto en el que $f(x) = 0$ por la continuidad, y $x \in [0,1]$ . Esto significa que $$ f'(x) = \lim_{k \to \infty} \frac{f(x_{n_k}) - f(x)}{x_{n_k} - x} = 0. $$ Así, $x$ es un cero común de $f$ y $f'$ .
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