Demostrar/Refutar : Cada polinomio con el primer grado y los coeficientes en $[-1,1]$ ha galois-grupo $S_p$

Question

Conjetura :

Deje $p$ ser un número primo , $f\in \mathbb Z[X]$ un polinomio irreducible con el grado $p$ y los coeficientes en el intervalo de $[-1,1]$. A continuación, el galois grupo de $f$ $\mathbb Q$ $S_p$

¿Alguien puede probar o refutar esta hipótesis ?

La conjetura es verdadera para los números primos hasta $p=11$. Para demostrar la conjetura sería suficiente para demostrar que el grupo de galois de $f$ $\mathbb Q$ contiene una transposición, lo que sin duda es el caso, si hay exactamente dos no verdaderas raíces. Pero en general, yo no sé cómo esto puede ser mostrado.

Answer 1

Esto no es realmente una solución completa, pero es un poco difícil de manejar para poner en un comentario:

La propiedad que son conjeturas - grupo de Galois $S_n$ - es conocido por ser muy probable. Por lo tanto los datos experimentales para las pequeñas $p$ no es realmente convincente.

(Por si quieres probar grados más de 11 en la BRECHA, es posible que desee buscar en ProbabilityShapes-- PARI es más rápido ya que no estrictamente demostrar el tipo de grupo de Galois).

No se puede esperar una compleja conjugación especialmente bonita forma. En efecto aleatorio ejemplos en el grado 17 de encontrar un número variable de bienes raíces.

Mi (tal vez ingenuo) supongo que en un best shot hacia demostrando que es: Demostrar que el discriminante no es un cuadrado. Si es así (por una clasificación de los grupos transitivas de primer grado-por ejemplo, Guralnick del trabajo) el grupo de Galois es $S_n$ o contenida en $AGL_1(p)$. Para excluir la última opción mostrar que hay un elemento que tiene al menos dos puntos fijos, es decir, mostrando que no debe ser un prime (no dividir el discriminante) modulo que el polinomio tiene al menos 2 de las raíces, pero no se dividen en factores lineales.