Más cíclico quintics?

Question

Debo subrayar que, estoy interesado en quintics con cinco reales irracionales raíces, Galois grupo cíclico $\mathbb Z_5,$ de manera tal que las raíces puede ser expresada como la suma de las raíces de la unidad (en el conjugado de a pares), por lo tanto como la suma de los cosenos de racional de los múltiplos de $\pi.$

La redacción en la wikipedia sección en solucionable cíclico quintics sugiere que hay una secuencia infinita de ejemplos como los que mostrar. Sin embargo, éstos no proporcionan ninguna fuente de esta sub-sección. Como se verá a continuación, que yo no he tenido problemas para ampliar su receta para los números primos $101$$131,$, pero los artículos que he encontrado para el prime $151$ tienen un mal grupos de Galois. He saltado al primer $181$ y más $p = 10 n + 1,$ vamos a ver qué pasa. Me he quedado con su receta...tenga en cuenta que, por un estricto entero de traducción, es razonable considerar también la posibilidad de $x^5 + 2 x^4 + more,$ o $x^5 + 3 x^4 + more,$ o $x^5 + 4 x^4 + more.$ Hay un montón de literatura en $x^5 + e x^3 + stuff.$ Oh, con $p = 10 n + 1$ prime, nuestra polinomio es $$ x^5 + x^4 - 4 n x^3 + a x^2 + b x + c $$ i have been assuming that we want the discriminant to be a square, in particular $w^2 r^4,$ where $w$ is not divisible by $p.$

Las preguntas son: ¿de dónde sacaste de wikipedia encontrar este material, también hay más.

https://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function#Other_solvable_quintics

Cómo resolver un cíclica quintic en radicales?

Resolver esta difícil ecuación de quinto grado.

$$ x^5 + x^4 - 4 x^3 - 3 x^2 + 3 x + 1 $$ $$ \Delta = 11^4 $$ $$ $$ $$ x^5 + x^4 - 12 x^3 - 21 x^2 + x + 5 $$ $$ \Delta = 5^2 \; 31^4 $$ $$ $$ $$ x^5 + x^4 - 16 x^3 + 5 x^2 + 21 x - 9 $$ $$ \Delta = 3^6 \; 41^4 $$ $$ $$ $$ x^5 + x^4 - 24 x^3 - 17 x^2 + 41 x - 13 $$ $$ \Delta = 29^2 \; 61^4 $$ $$ $$ $$ x^5 + x^4 - 28 x^3 + 37 x^2 + 25 x + 1 $$ $$ \Delta = 23^2 \; 71^4 $$ $$ $$ $$ x^5 + x^4 - 40 x^3 + 93 x^2 - 21 x - 17 $$ $$ \Delta = 17^2 \; 101^4 $$ $$ $$ $$ x^5 + x^4 - 52 x^3 - 89 x^2 + 109 x + 193 $$
$$ \Delta = 79^2 \; 131^4 $$ $$ $$ Tito(151) $$ x^5 + x^4 -60 x^3 -12 x^2 + 784 x + 128 $$ $$ \Delta = 2^{18} \; 151^4 $$ $$ $$ $$ x^5 + x^4 -72 x^3 -123 x^2 + 223 x -49 $$ $$ \Delta = 7^2 \; 149^2 \; 181^4 $$ $$ $$ Emma Lehmer(191) $$ x^5 + x^4 - 76 x^3 -359 x^2 - 437 x - 155 $$ $$ \Delta = 5^2 \; 11^2 \; 191^4 $$ $$ $$

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MALO: prime $151,$ $D_5:$ $$ x^5 + x^4 - 60 x^3 + 139 x^2 + 29 x - 174 $$ $$ \Delta = 2^6 \; 29^2 \; 151^4 $$

MALO: prime $151,$ $A_5:$ $$ x^5 + x^4 - 60 x^3 - 314 x^2 -122 x - 174 $$ $$ \Delta = 2^6 \; 3^6 \; 29^2 \; 151^4 $$ Esto tiene una sola raíz real.

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Answer 1

Sí, hay infinitamente muchos cíclico quintics como parametrizadas por el Emma Lehmer quintic

$$y^5 + n^2y^4 - (2n^3 + 6n^2 + 10n + 10)y^3 + (n^4 + 5n^3 + 11n^2 + 15n + 5)y^2 + (n^3 + 4n^2 + 10n + 10)y + 1 = 0$$

Deje $p=25 + 25 n + 15 n^2 + 5 n^3 + n^4$. Luego discriminante es

$$D = (7 + 10 n + 5 n^2 + n^3)^2\,p^4$$

También, tenga en cuenta que $n\,p=(n + 1)^5 + 5(n + 1)^3 + 5(n + 1) - 11$. Una raíz es dada por $$y = a+b\sum_{k=1}^{(p-1)/5}\,{\zeta_p}^{c^k}$$

con la raíz de la unidad $\zeta_p = e^{2\pi i/p},\,$ para algunos entero $a,b,c$. Ver este MO post para las fórmulas para $a,b,c$.

P. S. Mientras que $p=151$ no pertenece a esta familia, me parece que,

$$x^5 + x^4 - 60x^3 - 12x^2 + 784x + 128 = 0$$

con discriminante $d=2^{18}151^4$ tiene la raíz $\displaystyle x=\sum_{k=1}^{30}e^{2\pi\, i\, c^k/151}$$c=23$. El Mathematica comando para encontrar estos quintics es,

Table[{c,Reconoce[N[Sum[E^(2Pi I c^k/p),{k,1,(p-1)/5}],50],5,x]},{c,p/2}]

para el prime $p\equiv1\pmod{10}$. La inspección de la tabla resultante de candidato quintics, idénticos con pequeños coeficientes se destacan y que da la elección correcta de las $c$.