Cuatro de color teorema de refutación?

Question

Mi cuñado y yo estábamos discutiendo el teorema de los cuatro colores; ninguno de nosotros es enorme matemáticos, pero a ambos nos gustan los retos, y esta noche estábamos discutiendo el teorema de los cuatro colores, y si hay una manera de refutarla.

Después de algún tiempo de hacer garabatos en la parte de atrás de un sobre y alrededor de una hora de la prueba-y-error intentos en Sumopaint, me parece que no puede venir para arriba con un patrón que sólo utiliza cuatro colores para este "mapa". Puede alguien encontrar una manera (a través de algoritmos o a través de ensayo y error) a color para que se adapte a las cuatro de color teorema?

Answer 1

Comenzando en la parte superior de las agujas del reloj:

• centro: 1, 2, 3
• medio: 2,4,3,4,2,4
• exterior: 1

Espero que esto ayude a $\ddot\smile$

Answer 2

Algunas personas han comentado que todas las respuestas dadas hasta el momento han sido idéntica a la simetría (ya sea mediante el intercambio de colores, o mediante una simetría de la incoloro diagrama). He aquí una prueba de que la respuesta que todo el mundo ha dado es la única respuesta posible, hasta a la simetría.

Permítanme número de las regiones, así:

Sin pérdida de generalidad, supongamos que la región 1 es rojo, región 2 es verde, y la región 3 es azul.

Es la región 10 de amarillo? Voy a demostrar que no lo es. Suponga que la región 10 es de color amarillo. Entonces, dado que la región 5 de las fronteras de las regiones 1 (rojo), 2 (verde), y 10 (amarillo), región 5 debe ser de color azul. Siguiente, desde la región 6 de la fronteras de las regiones 2 (verde), 5 (azul), y 10 (amarillo), región 6 debe ser de color rojo. Ahora la región 7 de las fronteras de las regiones 2 (verde), 3 (azul), 6 (rojo), y 10 (amarillo), por lo que no puede ser coloreado. Esto demuestra que la región 10 no es amarillo.

Ahora sabemos que la región 10 debe ser de color rojo, verde o azul. Sin pérdida de generalidad, supongamos que la región 10 es de color rojo.

Ahora podemos encontrar:

• Región 7 fronteras de las regiones 2 (verde), 3 (azul), y 10 (rojo). Por lo tanto, región 7, es de color amarillo.
• La región 6 de la fronteras de las regiones 2 (verde), 7 (amarillo), y 10 (rojo). Por lo tanto, región 6, es de color azul.
• La región 5 de las fronteras de las regiones 1 (rojo), 2 (verde), 6 (azul), y 10 (rojo). Por lo tanto, región 5, es de color amarillo.
• La región 8 de la fronteras de las regiones 3 (azul), 7 (amarillo), y 10 (rojo). Por lo tanto, región 8 es de color verde.
• La región 9 de las fronteras de las regiones 1 (rojo), 3 (azul), 8 (verde), y 10 (rojo). Por lo tanto, la región 9 es de color amarillo.

En este punto, la única incoloro región es la región 4. Sus vecinos son las regiones 1 (rojo), 5 (amarillo), 9 (amarillo), y 10 (rojo). Podemos completar el colorante por la elección, ya sea verde o azul. Ambas opciones le dará los mismos colores, hasta simetría.

Answer 3

Esto funciona, como se puede comprobar..

Answer 4

Aunque yo no lo llamaría un algoritmo, se puede construir una solución equivalente a las de las otras tres respuestas a través de este enfoque racional:

1. Asignar un color C₁ para el anillo exterior. Es un candidato prometedor debido a la simetría y topología de la figura.

2. Observar que

   • el anillo exterior no tiene límite en común con el interior del disco, así que C₁ puede ser utilizado de nuevo allí
   • cada región del interior del disco fronteras de los otros dos, por lo que estas tres regiones deben tener cada uno de un color distinto

3. Por lo tanto, elegir dos colores más C₂ y C₃, y asignar C₁, C₂y C₃ como los colores de las regiones del interior del disco. No importa el color que se asigna a la región en la que, como todos los arreglos son interconvertibles por operaciones de simetría de la figura, como parcialmente de color en el paso (1).

4. Observar que no es exactamente un segmento del anillo central que limita ambos, C₂ y C₃ desde el interior de la disco; también, forzosamente, las fronteras C₁ de el anillo exterior. Ese segmento requiere un cuarto color, C₄.

5. El color de las asignaciones realizadas para este punto de dejar sólo una elección de cada uno (sin el uso de un quinto color) para el resto de los medio-anillo de segmentos distintos de la una enfrente de la región asignada en el paso anterior. Habiendo hecho estas asignaciones, dos alternativas que quedan para el final de la región; o bien puede ser asignado.

Answer 5

Una posible 4-coloración de los mismos.