Son 14 y 21 el único "interesante" números?

Question

Los números 14 y 21 son muy interesantes.

La factorización prima de 14 $2\cdot 7$ y la factorización en primos de $14+1$$3\cdot 5$. Tenga en cuenta que el 3 es el primer después de 2 y 5 es el primer antes de las 7.

Del mismo modo, el primer factorización de 21 $7\cdot 3$ y la factorización en primos de $21+1$$11\cdot 2$. De nuevo, el 11 es el primer después de 7 y 2 es el primer antes de las 3.

En otras palabras, que ambos satisfacen la siguiente definición:

Definición: Un número entero positivo $n$ se llama interesante si se tiene una factorización en primos $n=pq$ $p\neq q$ de manera tal que la factorización prima de $n+1$ $p'q'$ donde $p'$ es el primer después de $p$ $q'$ el primer antes de $q$.

Hay otros números interesantes?

Answer 1

Tenga en cuenta que exactamente uno de $n$ $n+1$ es incluso. De ello se desprende que para $n$ a ser interesante, $n=3p$ $n+1=2N(p)$ o $n=2p$ $n+1=3P(p)$ donde $P(p)$ $N(p)$ son de la anterior y la siguiente primos de a $p$ respectivamente. Reordenando obtenemos que $p$ debe satisfacer uno de los siguientes dos ecuaciones: $$\frac{3p+1}2=N(p)\tag1$$ $$\frac{2p+1}3=P(p)\tag2$$ Sin embargo, por un 1952 resultado de Jitsuro Nagura, para $p\ge25$ siempre hay un primer entre el$p$$\frac65p$. En particular, si $p$ es un excelente: $$\frac56p<P(p)<p<N(p)<\frac65p$$ Pero cuando $p\ge25$ las siguientes desigualdades son también verdaderas: $$\frac{2p+1}3<\frac56p\qquad\frac65p<\frac{3p+1}2$$ Por lo tanto, si $p$ es para satisfacer a ninguna de las $(1)$ o $(2)$ anterior, deberá ser inferior a 25. Esto deja un puñado de casos para comprobar la $p$, y nos encontramos con que el único interesante son los números 14 y 21 como se conjeturó.

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El Nagura de papel es una referencia en el artículo de Wikipedia sobre el postulado de Bertrand. Mientras que aquellos en los comentarios vi, de bosquejar el enfoque que uso aquí, yo ya sabía qué hacer; no he leído los comentarios en detalle hasta después de la publicación de mi respuesta.