$\ln(\sin(x))$ Representa en $L_1$

Question

Demostrar $\ln[\sin(x)] \in L_1 [0,1].$

Dado que el problema no requiere en realidad, la solución para el valor, mi estrategia es obligada la integral de alguna manera. Pensé que estaba fuera de este uno libre, ya que para $\epsilon > 0$ lo suficientemente pequeño, $$\lim_{\epsilon \to 0}\int_\epsilon^1 e^{\left|\ln(\sin(x))\right|}dx=\cos(\epsilon)-\cos(1) \to 1-\cos(1)<\infty$$

y, entonces, por la Desigualdad de Jensen, $$e^{\int_0^1 \left| \ln(\sin(x))\right|\,dx}\le \int_0^1e^{\left|\ln(\sin(x))\right|}\,dx\le1-\cos(1)<\infty$$ so that $\int_0^1 \left|\ln(\sin(x))\right|\,dx<\infty$.

El problema, claro, es que el argumento plantea la pregunta, ya que Jensen se supone que la función en cuestión es integrable, para empezar, y eso es lo que estoy tratando de mostrar.

Cualquier manera de salvar mi prueba, o tengo que utilizar un método diferente? He tratado de integración por partes, sin éxito, así que estoy asumiendo que hay algún "truco" cálculo no sé que debo usar aquí.

Answer 1

Primero observe que $\ln \sin x = \ln {\sin x \over x} + \ln x$.

La función ${\sin x \over x}$ es continua y en $[0,1]$ (si se lo extiende a igual $1$ $x = 0$), así que lo mismo es verdad $\ln {\sin x \over x}$. Así $\ln {\sin x \over x}$ se encuentra en $L^1[0,1]$.

La función $\ln x$ es también integrable en $[0,1]$ como su primitiva es $x \ln x - x$ que converge a cero como $x = 0$.

Así que su suma $\ln \sin x$ se encuentra en $L^1[0,1]$ demasiado.

Answer 2

Un enfoque más simple sería observar que limita la función $x^{1/2}\ln \sin x$ $(0,1]$, porque tiene un límite finito como $x\to 0$--por regla de L'Hôpital aplicada a $\dfrac{\ln \sin x}{x^{-1/2}}$. Esto da $|\ln \sin x|\le Mx^{-1/2}$.

---

Como Byron Schmuland, $e^{|\ln \sin x|} = 1/\sin x$, nonintegrable; Esto es fatal para su enfoque.

Answer 3

Aquí es una prueba que se esconde detrás de un teorema en intercambiar el orden de integración:

Tenemos $0 \le {x \over 2} \le \sin x$, y decrece en $-\log$ $(0,1]$.

Entonces $\int_0^1 | \log(\sin x)| dx = \int_0^1 - \log( \sin x) dx \le \int_0^1 - \log( { x \over 2}) dx = \log 2 + \int_0^1 - \log( { x}) dx$.

Tonelli da $\int_0^1 -\log(x) dx = \int_{x=0}^1 \int_{t=x}^1 {dt \over t} dx = \int_{t=0}^1 \int_{x=0}^t {dx \over t} dt = 1$.

Por lo tanto, el alto límite $\int_0^1 | \log(\sin x)| dx \le 1+ \log 2$.