En campo ($F, +, \cdot$), cómo puedo demostrar $x^2 =1\implies x=1,-1$

Question

Estoy realmente confundido acerca de los campos.

Sé que significa $x$ es el recíproco de sí mismo, y fácilmente puedo mostrar que $1^2=1$ (no tan trivial $(-1)^2$ bien), pero no estoy seguro de cómo me ayuda.

Edit: oh... Yo sólo puedo aprobar una respuesta. Bien Rankeya fue primero (por muy poco tiempo) así que supongo que te apruebo su aunque realmente no tienen ni idea lo que significa. Gracias a Brian M. Scott y Rankeya por la ayuda.

Answer 1

Un campo es un dominio, que significa en particular que $ab = 0 \Rightarrow a = 0$ o $b = 0$. Escriba $x^2 = 1$ $x^2 - 1 = 0$ y tratar de continuar desde allí.

También, Bienvenido al MSE

Answer 2

SUGERENCIA: $x^2=1$ si y sólo si $x^2-1=0$. En cualquier campo $x^2-1=(x-1)(x+1)$, que $x^2=1$ si y sólo si $(x-1)(x+1)=0$. Ahora demostrar que para cualquier $a,b\in F$, $ab=0$ si y sólo si al menos uno de $a$ y $b$ es $0$.