Primera derivada de la función de #% de %#% de Weierstrass como una función en $\wp$

Question

Actualmente estoy tratando de probar varios hechos acerca de $\wp'$, considerado como un meromorphic mapa de $\mathbb{C}/\Lambda\to\mathbb{C}$ donde $$\wp'(z) = -2\sum_{w\in\Lambda}\frac{1}{(z-w)^3}.$$ En particular, estoy interesado en el título de este mapa y sus puntos de ramificación. Aquí es lo que tengo hasta ahora:

• Hay una triple poste de $z=0$, lo $0$ es una ramificación punto de índice de 3, y este es el único polo (ya que la serie converge para todos los valores de $0\neq w\in\Lambda$), por lo $$\deg(\wp')=3$$ (por la definición de la titulación).
• Por Riemann-Hurwitz, $$\sum_{r\in\Omega}(v_{\wp'}(r)-1)=b(\wp')=6,$$ where $\Omega$ is the set of ramification points and $v_{\wp'}(r)$ es la valencia/índice de ramificación.
• Desde que el índice de un punto de ramificación está limitada por el grado, cualquier $r\in\Omega$ $$2\leqslant v_{\wp'}(r)\leqslant3.$$

Ahora poner estos hechos vemos que sólo tenemos tres posibilidades para la descripción de $\Omega\setminus\{0\}$ (ya que sólo hay tres formas de partición de la $4$ como una suma de $\{1,2\}$, hasta reordenación):

1. cuatro puntos de índice de $2$;
2. dos puntos de índice de $2$ y un índice de $3$;
3. dos puntos de índice de $3$.

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Tengo tres preguntas (aunque respondiendo a uno de ellos probablemente responder a algunos de los otros):

(a) todas las anteriores correcto? Toda la literatura que he leído acerca de la ramificación de puntos etc. ofertas de hoteles con holomorphic mapas entre las superficies de Riemann, pero aquí tenemos meromorphic mapas. Sólo el hecho de ignorar este hecho parece tener sentido, ya que proyectiva del espacio es homogéneo, en el sentido de que no importa qué punto podemos elegir para ser infinito, y así tener polos etc. sólo se traduce en tener soluciones a $\wp'(z)=\infty$ (o eso me digo a mí mismo...).

Básicamente, estoy bastante seguro de que meromorphic mapas son sólo holomorphic mapas a $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$. ¿Es esto cierto?

(b) ¿Cómo podemos pasar de aquí?

He intentado buscar en los ceros de $\wp'''$, y esto me dio todos los de la media de la red de puntos, lo que me llevó a afirmar que estos tres puntos se fueron todos de la ramificación de índice de 3, lo que contradice la de Riemann-Hurwitz. Así que, finalmente

(c) Es la suma de definición de la forma local de $\wp'$?. No parece, pero, de nuevo estamos tratando con meromorphic mapas, y no holomorphic. De cualquier manera, puede que todavía se ven en los derivados de este formulario para encontrar puntos de ramificación, o necesitamos el local de forma explícita. La regla de la cadena parece decir a mí que está bien utilizar el formulario que se nos da.

(c) En las referencias de la que estoy trabajando, se nos dice que un holomorphic mapa de $F:X\to Y$ entre las superficies de Riemann tiene un local holomorphic forma $f:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ donde $\mathbb{D}$ es la unidad de disco en $\mathbb{C}$ tomado de estar en el origen, para facilitar la notación (realmente, de hecho, esta es la definición de lo que significa para una función de holomorphic entre las superficies de Riemann.) Entonces se nos dijo que un punto de ramificación se produce cuando $F'=0$, y a mí me parece, por la regla de la cadena, desde la $f=\varphi_U^{-1}\circ F\circ\varphi_V$, que esto ocurre si y sólo si $f'=0$ en ese punto en las coordenadas dadas por $\varphi_U$. Es este el caso? Desde aquí estamos buscando en los derivados de la $\wp$, que no es holomorphic de $\mathbb{D}\to\mathbb{D}$, por lo que no es un "local de la forma".

Answer 1

Primero de todo, una pequeña corrección: se ha equivocado la expresión de $\wp'$. Desde $$ \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{0 \neq \omega \en \Lambda} \Big(\frac{1}{(z - \omega)^2} - \frac{1}{\omega^2}\Big) $$ de ello se sigue que $$ \wp'(z) = -2\sum_{\omega \en \Lambda}\frac{1}{(z - \omega)^3} $$ (es decir, usted tiene el mal exponente)

A) estás en lo correcto; una función de meromorphic en una superficie de Riemann es sólo un holomorphic mapa a $\mathbb{CP}^1$.

B) Si usted quiere entender la ramificación de la $\wp'$ usted necesita para mirar donde $\wp'' = 0$. En fin, que uno puede ver en la siguiente ecuación diferencial satisfecho por $\wp$: $$ (\wp')^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3 $$ donde $g_2, g_3$ son constantes determinadas por la celosía $\Lambda$. Si ahora nos diferenciar esta expresión con respecto a $z$, obtenemos $$ 2\wp'\wp" = 12\wp^2\wp' - g_2\wp' $$ y tan lejos de los puntos donde se $\wp' = 0$ (lo que podemos evitar, ya $\wp$ es simplemente ramificado, ya que es un grado de mapa 2), nos encontramos con que $\wp''$ satisface $$ \wp" = 12\wp^2 - g_2 $$ es decir, cuando se $\wp(z)^2 = \frac{g_2}{12}$. Sin embargo, hay cuatro valores de $z$ para los que esto es cierto, ya que la $\wp$ es un grado 2 mapa de $\mathbb{C}/\Lambda \to \mathbb{CP}^1$. Así que hay otros cuatro puntos de ramificación, todos los cuales deben ser simples ramificación.

Podemos comprobar esto mostrando que $\wp''' \neq 0$ en cada uno de estos puntos. La diferenciación de nuevo nos encontramos con que $\wp''' = 24\wp\wp'$. Ya sabemos que $\wp \neq 0$ en cada uno de estos puntos, nos gustaría tener ese $\wp' = 0$ que no es posible también, como $\wp$ es simplemente ramificado en cada una de la mitad de la red de puntos.

C) Si entiendo tu pregunta correctamente, usted se está preguntando si la suma que usted escribió es una expresión válida para $\wp'$. Aparte de la cuestión sobre el exponente es. Esto se deduce por el hecho de que podemos diferenciar holomorphic funciones de término por término.

Estás en lo correcto acerca de la regla de la cadena argumento, que a pesar de el hecho de que no hemos escrito $\wp'$ como una función de $\mathbb{D} \to \mathbb{D}$, que se puede determinar la ramificación mirando en función de las $\wp'$ es cero en lugar de escribir en coordenadas locales en torno a los puntos deseados. Por lo que este método funciona para exactamente las razones por las que usted describe.

Espero que esto aclare!