Dado un número finito de puntos en un espacio vectorial $V$ ¿existe una base tal que la primera coordenada de cada punto sea distinta?

Question

Supongamos que tengo algunos $n$ -espacio vectorial de dimensiones $V$ y una colección finita de $m$ puntos distintos $v_1,\dotsc, v_m\in V$ . ¿Existe una base de $V$ tal que la primera coordenada de cada $v_i$ ¿es distinto?

Esto obviamente falla cuando el campo base es finito, pero mi intuición sobre $\mathbb{R}^n$ me ha convencido de que es cierto cuando el campo base es infinito. Sin embargo, me resulta difícil demostrarlo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Puedes pensar que esto está relacionado con el siguiente resultado divertido. Steve D. ofrece una breve demostración. aquí .

Es un hecho: Si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo infinito $F$ (el espacio vectorial puede ser de dimensión finita o infinita), entonces $V$ no puede expresarse como la unión de un número finito de subespacios propios.

Volviendo a su pregunta, es conveniente considerar primero el caso de dimensión finita.

Reclamación: Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensiones finitas sobre un campo infinito $F$ . Sea $D$ sea un conjunto finito de vectores no nulos en $V$ . Entonces, existe un hiperplano $W \subset V$ tal que $D \cap W = \varnothing$ .

Prueba: Dejemos que $n$ sea la dimensión de $V$ . Construimos recursivamente subespacios $\{0\} = W_0 \subset W_1 \subset \ldots \subset W_{n-1}$ de manera que cada una de ellas sea disjunta de $D$ y $\dim W_k =k$ . Supongamos que $W_k$ ya está construido para $k < n-1$ . Por el hecho citado anteriormente, $V$ no es la unión de los subespacios $W_k + F \cdot d$ como $d$ abarca los elementos de $D$ . Sea $v \in V$ sea tal que $v \notin W_k + F \cdot d$ para todos $d \in D$ y poner $W_{k+1} = W_k + F\cdot v$ .

Corolario: Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensiones finitas sobre un campo infinito $F$ . Sea $S$ sea un subconjunto finito de $V$ . Entonces, existe un funcional lineal $\varphi : V \to F$ tomando valores distintos en los elementos de $S$ .

Prueba: Dejemos que $D$ sea el conjunto de diferencias $x-y$ donde $x$ y $y$ son elementos distintos de $S$ . Así que, $D$ es un conjunto finito de vectores no nulos en $V$ . Por la afirmación anterior, existe un hiperplano $W$ tal que $D \cap W = \varnothing$ . Como no hay dos elementos de $S$ son iguales en el módulo $W$ todos ellos corresponden a elementos distintos en el cociente unidimensional $V/W$ . Elección de una identificación de $V/W$ con $F$ da el funcional deseado.

Esto resuelve la versión de dimensión finita de su pregunta de la siguiente manera: elija $\varphi$ como en el caso anterior y extenderlo a una base $\varphi,\varphi_2,\ldots,\varphi_n$ para el espacio dual $V^*$ . Como estamos en el caso de dimensión finita, estas funciones corresponden a una base $e_1,\ldots,e_n$ para $V$ tal que la función de coordenadas de $e_i$ es exactamente $\varphi_i$ .

Por otro lado, es fácil ver que la versión de dimensión finita de su problema implica la versión de dimensión infinita. Dado un subconjunto finito $S$ de un espacio vectorial de dimensión infinita $V$ sobre un campo infinito $F$ podemos encontrar una base para el subespacio finito $\mathrm{span}(S)$ tal que los elementos de $S$ todos obtienen diferentes primeras coordenadas, y luego se extienden arbitrariamente a una base para todos los $V$ .

Answer 2

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un campo finito.

Lemma: Dado un conjunto finito de vectores $F$ existe $W\leq V$ de dimensión $n-1$ con $W\cap F=\varnothing$ .

Demostramos que todo subespacio maximal con $W\cap F=\varnothing$ debe tener dimensión $n-1$ .

Supongamos que no: Dejemos que $W$ sea un subconjunto máximo con $W\cap F$ y que $U$ sea un subespacio de dimensión $2$ con $W\cap U=\varnothing$ .

Obsérvese que para cada $u\in U$ tenemos $f-\alpha u \in W$ para algún escalar no nulo $\alpha$ y $f\in F$ . Dado $f\in F$ dejar $X_f$ sea el conjunto de vectores $u\in U$ tal que $f-\alpha u\in W$ para algún escalar $\alpha$ . Concluimos $\bigcup\limits_{f\in F}X_f=U$ .

Si definimos $Y_f$ como el subespacio abarcado por $X_f$ entonces también debe quedar claro que $\bigcup\limits_{f\in F} {Y_f}=U$ . Esto implica que $Y_f=U$ para algunos $f$ (porque una unión finita de subespacios propios de un espacio vectorial sobre un campo infinito no puede ser el espacio vectorial completo).

Por lo tanto, podemos obtener $u_1$ y $u_2$ vectores linealmente independientes en $X_f$ . Obsérvese que tenemos $f-\alpha u_1\in W$ y $f-\beta u_2\in W$ , lo que implica $\beta u_2-\alpha u_1\in W$ pero también tenemos $\beta u_2-\alpha u_1\in U$ . Lo que implica $\beta u_2-\alpha u_1=0$ . Una contradicción. Por lo tanto, el lema queda demostrado.

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Aplicar el lema a nuestro caso particular es trivial. Sea $v_1,v_2\dots v_m$ sean los vectores y consideremos el conjunto $u_1,u_2,\dots u_k$ que consiste en todos los valores $v_i-v_j$ .

Por el lema existe un subespacio de dimensión $n-1$ $W$ tal que $u_i\not\in W$ para todos $1\leq i \leq k$ .

Dejemos que $b_2,b_3\dots b_n$ sea una base para $W$ .

Entonces, cualquier extensión $b_1,b_2\dots b_n$ hace el truco.