l ' regla de Hopital en $\mathbb{C}$

Question

¿Es cierto de regla de la L'Hopital al usar límites en $\mathbb{C}$ (el complejo campo)?

¿No sé si sólo es válida con el % de los números reales $\mathbb{R}$... que es el caso?

Answer 1

La respuesta es trivial y difícil. Si usted traduce "diferenciable" a "holomorphic", entonces es cierto en $\mathbb{C}$. De hecho, holomorphic funciones de alimentación de la serie, y muchos de los límites de la forma $[0/0]$ son resueltos por las expansiones en el poder de la serie; De l'Hospital es esencialmente un primer orden de la expansión. Si el límite $$\lim_{z \to a} \frac{f(z)}{g(z)} = \left[\frac{0}{0}\right],$$ you may expand both $f$ and $g$ arounf $z=a$ y esperanza para resolver el límite.

El caso de $[?/\infty]$ es más difícil, ya que no hay $\infty$ $\mathbb{C}$ que jugadores el mismo papel de la $\pm\infty$$\mathbb{R}$. Usted puede tomar el módulo de función, pero esto puede romper su analiticidad.

Answer 2

Es válido en $\mathbb C$ así. Necesita la versión de compex de differentiability (aka. la función analítica/foliaciones), aunque.