¿Por qué puede ' t un barrio sea un conjunto finito?

Question

Rudin define un barrio de la siguiente manera:

Deje $X$ ser un espacio métrico dotado de una función de distancia $d$. Una vecindad de un punto de $p \in X$ es un conjunto $N_r(p)$ que consta de todos los $q \in X$ tal que $d(p,q) < r$ algunos $r > 0$.

Más tarde demuestra dos hechos: cada barrio es un conjunto abierto, y cada conjunto finito es cerrado.

Pero me parece que un barrio como se definió anteriormente podría ser finito. Por ejemplo, supongamos $X = \{1,2,3\}$ $d(x,y) = |x-y|$ ser un espacio métrico . Considere el vecindario alrededor de $p = 2$ radio $0.5$, es decir: el conjunto de todos los puntos de $q$ $X$ tal que $d(q,p)<0.5$. Pero el barrio es simplemente $\{2\}$. Por lo tanto, el barrio es un conjunto finito, y por lo tanto cerrado. Pero cada barrio está abierto. Esta es una contradicción.

Así que mi comprensión de un barrio se rompe de alguna manera. Tiene más implicaciones: si definimos $E = \{2\}$, $0.5$- radio de barrio es $\{2\}$, que es un subconjunto de a $E$, lo que significa que $2$ es un punto interior de a $E$. Desde $2$ es el único punto en $E$, todos los puntos en $E$ son los puntos del interior, y $E$ está abierto. Pero $E$ es finito, y por lo tanto cerrado.

Probablemente estoy perdiendo algo obvio. Puede alguien irregular mi error?

Answer 1

"Todo conjunto finito es cerrado" no implica "abrir cada barrio es infinita".

Deje $(X,d)$ ser cualquier espacio métrico, y deje $F \subseteq X$ ser un no-vacío subconjunto finito; decir $F = \{ x_1, \cdots, x_n \}$ algunos $n \in \mathbb{N}$. Para demostrar que $F$ está cerrada que es suficiente para demostrar que $X - F$ está abierto. Así que vamos a $p \in X-F$. Entonces el conjunto $\{ d(p,x_1), \cdots, d(p,x_n) \}$ tiene un valor mínimo, decir $\delta$, y sabemos que $\delta > 0$ desde $p \not \in F$, y así siempre $d(p,q) < \delta$ tenemos $q \in X-F$. Pero este le dice que el (abierto) de la bola de radio $\delta$ $p$ se encuentra en $X-F$, y, por tanto, $X-F$ está abierto.

En sus ejemplos, sí, los conjuntos son abiertos y finito, pero también están cerradas!

El hecho clave para llevar a casa es que los conjuntos se les permite ser a la vez abierto y cerrado.

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Sin embargo, hay un parcial contrario: en un denso espacio métrico, abrir cada barrio es infinito.

Un espacio métrico $(X,d)$ es denso si por cualquier $x \in X$ $r > 0$ existe $y \in X$ $x \ne y$ y $d(x,y) < r$ $-$ es decir, dado cualquier punto en el espacio, hay otros puntos que se encuentran arbitrariamente cerca de ese punto. $\mathbb{R}$ es un denso espacio, por lo que es $\mathbb{Q}$, por lo que es $(0,1)$, y de hecho lo es cualquier otra que no esté vacío abierto subconjunto de $\mathbb{R}$.

El hecho de que la apertura de los barrios en los densos métrica espacios son necesariamente infinito es claro a partir de la definición. [También está claro que un espacio métrico en el que cada abierto barrio es infinito es densa, y por lo tanto las dos condiciones son equivalentes.]

Answer 2

Un ejemplo interesante, que $X$ ser un no-vacío conjunto y definir $d:X\times X\to\Bbb R$ por el $$d(x,y)=\begin{cases}0 & x=y\\1 & x\neq y.\end{cases}$$ This can be shown to be a metric on $X $ (called the discrete metric). One interesting property is that in the metric space $(X,d) $, every subset of $x$ es tanto abierta y cerrada. Incluso en espacios métricos generales, siempre habrá al menos dos subconjuntos que son abiertas y cerradas, es decir, el conjunto vacío y todo el conjunto.