evaluar usando el Teorema fundamental del cálculo

Question

Que %#% $ #%

Encontrar $$F(x)=\int_0^{x}\ tf (x^2-t^2)\,dt$.

Sé que tengo que aplicar el Teorema fundamental del cálculo. En cuanto a la parte siguiente, he intentado sustituir en $F'(x)$ pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Si sustituye $u = x^2 - t^2$ y $du = -2t \, dt$. Si $t = 0$ y $u = x^2$. Si $t = x$ y $u = 0$. Así, tenemos

$$ F(x) = -\frac{1}{2} \int_{0}^x f(x^2 - t^2) (-2t) \, dt = -\frac{1}{2} \int_{x^2}^{0} f(u) \, du = \frac{1}{2} \int_0^{x^2} f(u) \, du. $$

Usando el Teorema fundamental del cálculo, han

$$ F'(x) = \frac{1}{2} f(x^2) (x^2)' = x f(x^2). $$

Answer 2

Sugerencia:

Tenemos $$ f (x) = \int_{0}^{x}tf (x ^ {2}-t ^ {2}) dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{x^{2}}f (u) du $$ % todo conveniente $x$; Aquí se utilizó la sustitución $u := x^{2}-t^{2}$. $F$ Es un mapa compuesto; aplicando la regla de la cadena junto con el Teorema fundamental para concluir.