Conocí a un estudiante que está tratando de demostrar por diversión que hay infinitos primos de la forma $n^2+1$ . He intentado decirle que es un problema difícil, pero me faltan referencias. ¿Hay algún documento/libro que trate el problema? ¿Es este problema realmente difícil o lo recuerdo mal?
Respuestas
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Este es un increíblemente problema difícil.
Es uno de los Los 4 problemas de Landau que se presentaron en el congreso internacional de matemáticos de 1912, todo lo cual sigue sin resolverse hoy en día casi 100 años después.
Gudmundur Orn
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853
Este problema es difícil en el sentido de que aún no está probado. Proporcionaré un conjunto de referencias, pero se han realizado pocos trabajos concluyentes (que yo sepa) sobre cualquiera de ellos.
Esta es una conjetura de Hardy; posteriormente la generalizó para decir: si a, b, c son relativamente primos, a es positivo, y $(a+b)$ y c no son ambos pares, y $b^2 - 4ac$ no es un cuadrado perfecto (lo sé, todo un conjunto de condiciones) - entonces hay infinitos primos $an^2 + bn + c$ .
Lo hace en la página 19 de su libro .
Debo señalar que está demostrado (incluso en el mismo libro) que hay infinitos primos de la forma $n^2 + m^2$ y $n^2 + m^2 + 1$ . (Estoy bastante seguro).
Hay otro enunciado de esta conjetura que es anterior - ¿Hay infinitos primos $p$ tal que $p - 1$ ¿es un cuadrado perfecto? Esta es una conjetura de Landau, y viene a ser lo mismo (pero sin la generalización de Hardy). Que yo sepa, el mayor trabajo es demostrar que hay infinitos números $n^2 + 1$ que tienen como máximo 2 factores primos, y es bastante intenso.
Por último, existe una conjetura mucho más fuerte llamada Conjetura de Horn o la conjetura del cuerno de Bateman. Es una especie de generalización de muchas otras conjeturas.
Hank
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156
Este es un subproblema del Conjetura de Bunyakovsky . Tengo un formulario interactivo en La conjetura de Bouniakowsky . Sea $f$ sea un polinomio irreducible de grado superior a 2 y que $k=gcd(f(0),f(1))$ .
La conjetura: $f(n)/k$ siempre genera un número infinito de primos.
Algunos polinomios, como $x^{12}+488669$ parecen hacer sólo escasamente números primos, pero hasta ahora no se conocen límites para ninguno de estos polinomios.
jasimmk
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208
Si te interesa, aquí tienes un argumento heurístico que se me acaba de ocurrir y que da el supuesto comportamiento asintótico del número de primos igual a un cuadrado más uno menor o igual a una cantidad dada:
$$\sum_{n\leq x}\Lambda(n^2+1)=\sum_{n\leq x}\sum_{d\mid n^2+1}-\mu(d)\ln(d)=\sum_{n\leq x}\sum_{d\leq x}\sum_{n^2+1\equiv 0 \text{ mod } d}-\mu(d)\ln(d)$$ $$=\sum_{d\leq x}\sum_{n\leq x}\sum_{n^2+1\equiv 0 \text{ mod } d}-\mu(d)\ln(d)=\sum_{d\leq x}\sum_{k=0}^{d-1}\sum_{n\leq \frac{x-k}{d}}\sum_{(dn+k)^2+1\equiv 0 \text{ mod } d}-\mu(d)\ln(d)$$ $$=\sum_{d\leq x}\sum_{k=0}^{d-1}\sum_{n\leq \frac{x-k}{d}}\sum_{k^2+1\equiv 0 \text{ mod } d}-\mu(d)\ln(d)=\sum_{d\leq x}\sum_{k=0}^{d-1}\sum_{k^2+1\equiv 0 \text{ mod } d}-\mu(d)\ln(d)\lfloor{\frac{x-k}{d}}\rfloor$$ $$=\sum_{d\leq x}\sum_{k=0}^{d-1}\sum_{k^2+1\equiv 0 \text{ mod } d}-\mu(d)\ln(d)(\frac{x}{d}+O(1))\approx\sum_{d\leq x}\sum_{k=0}^{d-1}\sum_{k^2+1\equiv 0 \text{ mod } d}-\mu(d)\ln(d)\frac{x}{d}$$
$$=x\sum_{d\leq x}\frac{-\mu(d)\ln(d)f(d)}{d}$$
Dónde $f(d)$ cuenta el número de soluciones no congruentes $k$ modulo $d$ a $k^2\equiv -1 \text{ mod } d$
Así que con $\chi$ el carácter no principal módulo $4$ lo tenemos: $$f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)^2\chi(\frac{n}{d})\iff\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}=\frac{L(s,\chi)\zeta(s)}{\zeta(2s)}$$
Entonces, tal vez:
$$\sum_{n\leq x}\Lambda(n^2+1)\approx x\lim_{s\to +1}\sum_{d=1}^\infty\frac{-\mu(d)\ln(d)f(d)}{d^s}=x\prod_{p \text{ odd} }(1-\frac{\chi(p)}{p-1})$$
Para que podamos tener:
$$\sum_{\substack{p\leq x\\p=n^2+1}}1\sim \operatorname{Li}(x^{1/2})\left(\prod_{p\equiv 1 \mod 4} \frac{p-2}{p-1}\right)\left(\prod_{p\equiv 3 \mod 4}\frac{p}{p-1}\right)$$
